Temat

Stożek. Pole powierzchni stożka

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

X. Stereometria. Uczeń:
6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walców, stożków, kul, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Cele szczegółowe

1. Zapoznanie z budową stożka.

2. Obliczanie pola powierzchni stożka.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- wskazuje elementy stożka,

- oblicza pole powierzchni stożka.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Mapa mentalna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji poznają elementy budowy stożka oraz będą obliczać jego pole powierzchni.

Realizacja lekcji

Dyskusja – jaką figurę otrzymamy obracając trójkąt prostokątny wokół prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych?

Polecenie
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest zaobserwowanie najważniejszych elementów budowy stożka.

[Geogebra aplet]

Praca w grupach.

Uczniowie tworzą mapy mentalne, na których obrazują poznane (również w szkole podstawowej) informacje związane ze stożkiem. Zaznaczają na rysunku elementy budowy stożka i jego przekroje. Wyniki swojej pracy prezentują pozostałym grupom.

Uczniowie wycinają z papieru wycinek koła. Oznaczają jego środek i promień. Wycinek zwijają tak, aby promienie wyznaczone przez miejsce przecięcia pokryły się. Otrzymują w ten sposób powierzchnię boczna stożka.

Dyskusja – czy zawsze powierzchnia boczna stożka musi być wycinkiem koła? W jakim kształcie jest podstawa stożka? Z jakich elementów zbudowana jest siatka stożka.

Wnioski:

[Illustracja 1]

- Powierzchnia boczna stożka, po rozłożeniu na płaszczyźnie, jest wycinkiem koła.

- Siatka stożka składa się z koła, będącego podstawą stożka i wycinka koła, będącego powierzchnią boczną.

- Tworząca stożka jest równa promieniowi wycinka koła, będącego powierzchną boczną stożka.

- Obwód podstawy stożka jest równy długości łuku wyznaczonego przez wycinek koła.

Pole powierzchni stożka, jest równe polu powierzchni siatki tego stożka.

Pole $P$ powierzchni stożka o promieniu podstawy $r$ i tworzącej $l$ jest równe:

Uczniowie wykorzystują zdobyte wiadomości w zadaniach.

Polecenie 
Tworząca stożka o długości $4\sqrt{3}$ jest nachylona do podstawy pod kątem ${30}^{\circ }$. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka.

Polecenie 
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 4 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka.

Polecenie 
Pole powierzchni bocznej stożka jest wycinkiem koła o kącie środkowym 144° i promieniu 12 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka.

Polecenie 
Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 5 cm i 12 cm obrócono najpierw wokół krótszej, potem wokół dłuższej przyprostokątnej. Który stożek ma większe pole powierzchni?

Polecenie dla chętnych:
Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca ma długość 8 cm. Oblicz pole podstawy stożka.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.

- Powierzchnia boczna stożka, po rozłożeniu na płaszczyźnie, jest wycinkiem koła.

- Siatka stożka składa się z koła, będącego podstawą stożka i wycinka koła, będącego powierzchnią boczną.

- Tworząca stożka jest równa promieniowi wycinka koła, będącego powierzchną boczną stożka.

- Obwód podstawy stożka jest równy długości łuku wyznaczonego przez wycinek koła.

Pole $P$ powierzchni stożka o promieniu podstawy $r$ i tworzącej $l$ jest równe: