Temat

Określanie monotoniczności funkcji

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcje. Uczeń:

4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Cele szczegółowe

1. Określanie monotoniczności funkcji.

2. Rozpoznawanie i rysowanie wykresów funkcji monotonicznych.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- określa monotoniczność funkcji,

- rozpoznaje i rysuje wykresy funkcji monotonicznych.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą określać monotoniczność funkcji oraz rozpoznawać i rysować wykresy funkcji monotonicznych.

Uczniowie w domu w dostępnych źródłach wiedzy poszukują informacji o monotoniczności funkcji, jaką funkcję nazywamy monotoniczną.

Realizacja lekcji

Polecenie
Uczniowie pracują samodzielnie, korzystając z komputerów. Zadaniem uczniów jest obserwacja, jak przy zmianie argumentów zmieniają się wartości funkcji.

[Geogebra aplet]

Uczniowie ustalają definicję funkcji malejącej.

Definicja funkcji malejącej:
Funkcję nazywamy malejącą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji maleją wartości funkcji.

Dyskusja – jaką funkcję nazwiemy rosnącą lub stałą? Uczniowie analizują problem na podstawie własnych przykładów wykresów funkcji.

Definicja funkcji rosnącej:
Funkcję nazywamy rosnącą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji rosną wartości funkcji.

Definicja funkcji stałej:
Funkcja stała przyjmuje tę samą wartość niezależnie od argumentu.

Dyskusja – uczniowie systematyzują przygotowane w domu informacje o funkcji monotonicznej.

Wniosek:

Funkcja monotoniczna jest to funkcja, która zachowuje określony rodzaj porządku, czyli jest to funkcja rosnąca, niemalejąca (rosnąca lub stała), malejąca lub nierosnąca (malejąca lub stała).

Polecenie
Określ monotoniczność funkcji f przedstawionej na wykresie.

[Ilustracja 1]

Polecenie
Narysuj wykres funkcji stałej, której dziedziną jest zbiór X = { -2, -1, 0, 2, 4}.
Z ilu liczb składa się zbiór wartości tej funkcji?

Polecenie
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji.

[Ilustracja 2]

a) Podaj, dla jakich argumentów funkcja jest stała.
b) Podaj długość maksymalnego przedziału, w którym funkcja jest rosnąca.
c) Czy funkcja jest monotoniczna?

Polecenie
Na podstawie tabeli określ, czy funkcja jest malejąca, rosnąca czy stała. Narysuj wykres funkcji f.

[Tabela 1]

Polecenie dla chętnych:
Narysuj wykres niemalejącej funkcji f, która jest określona dla x $\in$ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.

Definicja funkcji malejącej:
Funkcję nazywamy malejącą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji maleją wartości funkcji.

Definicja funkcji rosnącej:
Funkcję nazywamy rosnącą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji rosną wartości funkcji.

Definicja funkcji stałej:
Funkcja stała przyjmuje tę sama wartość niezależnie od argumentu.