Temat

Obliczanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcje. Uczeń:

4) Odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Poznanie zależności między liczbą miejsc zerowych funkcji kwadratowej a znakiem $∆$.

3. Obliczanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej na podstawie wzoru opisującego funkcję.

Efekty uczenia

Uczeń:

- wyznacza liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej, w zależności od znaku $∆$,

- oblicza  miejsce zerowe na podstawie wzoru opisującego funkcję.

Metody kształcenia

1. Niedokończone zdania.

2. Kosz i walizka.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie metodą niedokończonych zdań przypominają wiadomości na temat funkcji kwadratowej (miejsca zerowego, odczytywania liczby miejsc zerowych na podstawie wykresu).

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na zajęciach będą obliczali miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

Dyskusja - w jaki sposób obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej, znając wzór tej funkcji.

Wniosek:

Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, gdzie $a\ne \; 0$ należy rozwiązać równanie $f\left(x\right)=0$.

Korzystając z wniosku, uczniowie, pracując w małych grupach, obliczają miejsca zerowe danych funkcji.

Polecenie

Znajdź miejsca zerowe funkcji:

• $f\left(x\right)=-\sqrt{2}{x}^2$

• $g\left(x\right)=x^2-16$

• $h\left(x\right)=9-4x^2$

• $m\left(x\right)=x^2-2x-3$

W czasie omawiania rozwiązań, uczniowie powinni zauważyć, że w przypadku funkcji m należało wzór funkcji zapisać w postaci iloczynowej. Zapewne okazało się to dla niektórych grup bardzo trudne.

Nauczyciel proponuje więc przeanalizować Slideshow, w którym przedstawiony jest wzór ogólny na miejsca zerowe funkcji kwadratowej (o ile istnieją) i zapisanie odpowiedniego wniosku.

[Slideshow]

Wniosek:
Funkcja kwadratowa $y=a{x}^2+bx+c$, gdzie $a\ne 0$ oraz $∆=b^2-4ac$:
- ma tylko jedno miejsce zerowe, $x_0=\frac{-b}{2a}$, wtedy i tylko wtedy, gdy $∆=0$,
- ma dwa miejsca zerowe, $x_1=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}$ oraz $x_2=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}$, wtedy i tylko wtedy, gdy$∆>0$
- nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy $∆<0$.

Uczniowie pracują w grupach, rozwiązując zadania z wykorzystaniem powyższego wniosku.

Polecenie
Oceń na podstawie wartości wyróżnika, ile miejsc zerowych ma każda z podanych funkcji:

• $f\left(x\right)=0,5x^2+8x+32$

• $h\left(x\right)=9x^2+4-2x$

• $m\left(x\right)=x^2-2x+1$

Polecenie
Oblicz miejsca zerowe (o ile istnieją) każdej z funkcji:

• $g\left(x\right)=2x^2-6x+5$

• $f\left(x\right)=-2x^2+4+2x$

• $h\left(x\right)=3x^2+18x+12$

Polecenie
Funkcja kwadratowa $f\left(x\right)=2x^2+8x+6$ ma dwa różne miejsca zerowe. Wykaż, że każde z nich należy do przedziału $(-4,0)$.

Polecenie
Jednym z miejsc zerowych funkcji $f\left(x\right)=2x^2+bx-3$ jest liczba $(-3)$. Oblicz b oraz drugie miejsce zerowe tej funkcji.

Polecenie dla chętnych
Wysokość walca jest o 3 cm większa od jego średnicy. Pole powierzchni całkowitej jest
równe $120\pi$ cmIndeks górny 2². Oblicz wysokość walca.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Stosując metodę kosza i walizki wybierają najważniejsze umiejętności i wiadomości, które należy zapamiętać.

Następnie podsumowują zajęcia, formułując wniosek  do zapamiętania.

Funkcja kwadratowa $y=a{x}^2+bx+c$, gdzie $a\ne 0$ oraz $∆=b^2-4ac$:
- ma tylko jedno miejsce zerowe, $x_0=\frac{-b}{2a}$, wtedy i tylko wtedy, gdy $∆=0$,
- ma dwa miejsca zerowe, $x_1=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}$ oraz $x_2=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}$, wtedy i tylko wtedy, gdy$∆>0$,
- nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy $∆<0$.