Temat

Podzbiory zbioru skończonego

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

XI. Kombinatoryka.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1. Zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych;

2. Zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności w sytuacjach nie trudniejszych niż:

a) czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2,
b) obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych
i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Zliczanie obiektów przy zastosowaniu reguły mnożenia i dodawania.

2. Wyznaczanie liczby wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru skończonego. 

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się. 

Efekty uczenia

Uczeń:

- zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania,

- wyznacza liczbę wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru skończonego. 

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. JIGSAW.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca z w grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie przypominają pojęcia zbioru i podzbiorów.

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji nauczą się wyznaczać liczbę wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru skończonego.

Realizacja lekcji

Uczniowie pracują w parach. Rozwiązując zadania, szukają wzoru na liczbę wszystkich dwuelementowych podzbiorów zbioru skończonego.

Polecenie 1

Wypisz wszystkie dwuelementowe podzbiory zbioru:

a) A = {a,b,c,d}
b) A = {1,2,3,4,5}
c) A = {K,R,T,Z,W,Y}

Napisz ile jest tych podzbiorów. Poszukaj zależności między liczbą podzbiorów, a liczbą elementów
w zbiorze.

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest zapoznanie się
z ilustracją interaktywną, przedstawiającą tę zależność.

[Ilustracja interaktywna]

Po skończonym ćwiczeniu przedstawiają wyniki swoich obserwacji:

- aby obliczyć liczbę wszystkich dwuelementowych podzbiorów, które można wybrać ze zbioru
$A=\{a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n\}$ można skorzystać ze wzoru:

Uczniowie pracują metodą układanki JIGSAW, wykorzystując poznane informacje w zadaniach.

Nauczyciel dzieli uczniów na grupy 4 osobowe. Każdy uczestnik grupy otrzymuje inne zadanie do rozwiązania z podanych poniżej. Po rozwiązaniu zadania uczniowie spotykają się w grupach, które rozwiązywały to samo zadanie. Omawiają rozwiązania, wyjaśniają wątpliwości.

Następnie wracają do początkowych grup i przedstawiają rozwiązania innym członkom grupy.

Polecenie 2

Na ile sposobów można wybrać dwuosobową delegację z 28 – osobowej klasy?

Polecenie 3

W klasie jest 12 dziewczynek i 8 chłopców. Do udziału w między klasowym turnieju należy wybrać czteroosobową drużynę, w której będą dwie dziewczynki i dwóch chłopców. Ile jest w tej klasie możliwości wyboru takiego zespołu?

Polecenie 4

Ile jest trzycyfrowych liczb naturalnych, w których cyfra jedności jest większa od cyfry dziesiątek?

Polecenie 5

Na prostych równoległych k i l zaznaczono punkty, jak na rysunku. Ile można utworzyć trójkątów spełniających warunki:

- wierzchołkami trójkąta są punkty zaznaczone na prostych k oraz l,
- podstawą trójkąta jest odcinek leżący na prostej l.

[Ilustracja 1]

Nauczyciel ocenia pracę uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:

Oblicz, ile jest wszystkich naturalnych liczb jedenastocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 12.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wiadomości do zapamiętania.

- aby obliczyć liczbę wszystkich dwuelementowych podzbiorów, które można wybrać ze zbioru
$A=\{a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n\}$ można skorzystać ze wzoru: