Temat

Graniastosłup prosty i jego własności. Związki miarowe w graniastosłupach

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

X. Stereometria.

Zakres podstawowy. Uczeń:

3. Rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;

5. Określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną;

6. Oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również
z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Rozpoznawanie i wskazywanie w graniastosłupach kątów między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kątów między ścianami, obliczanie miary tych kątów; określanie, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną.

2. Oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, również z wykorzystaniem trygonometrii
i poznanych twierdzeń.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- rozpoznaje i wskazuje w graniastosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami
i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów oraz określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną,

- oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, również z wykorzystaniem trygonometrii
i poznanych twierdzeń.

Metody kształcenia

1. Metoda odwróconej klasy.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca w parach.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie będą pracować metodą odwróconej klasy.
W tym celu, w domu przypominają sobie informacje dotyczące graniastosłupów.
Mogą skorzystać z informacji zamieszczonych na stronie www.epodreczniki.pl.

Realizacja lekcji

Nauczyciel dzieli uczniów na cztery grupy. Zadaniem każdej grupy jest prezentacja przygotowanych
w domu informacji.

Polecenie dla grup

Na podstawie przygotowanych wcześniej informacji, przygotuj plakat obrazujący informacje
na podany temat.

Grupa 1

Graniastosłup prosty – budowa, własności, rodzaje.

Grupa 2

Odcinki i kąty w graniastosłupach.

Grupa 3

Przekroje prostopadłościanu.

Grupa 4

Pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa.

Informacje, które powinny znaleźć się w prezentacjach grup:

Grupa 1

Graniastosłup prosty – budowa, własności, rodzaje.

- graniastosłup prosty, to taki wielościan, którego dwie przystające ściany (podstawy graniastosłupa) są położone w równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany są prostokątami.

- jeżeli podstawą graniastosłupa jest wielokąt foremny, to mówimy, że taki graniastosłup jest prawidłowy.

[Ilustracja]

Grupa 2

Odcinki w graniastosłupach.

[Ilustracja]

krawędzie podstawy: AB, BC, CD, AD, A’B’, B’C’, C’D’, A’D’

krawędzie boczne: AA’, BB’, CC’, DD’

przekątna podstawy: AC, BD, A’C’, B’D’

przekątna ściany bocznej: AB’, BA’, BC’, B’C, CD’, C’D, AD’, A’D

przekątną bryły: AC’, BD’, CA’, DB’

Kąty w graniastosłupach.

[Ilustracja]

Kąt nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny podstawy $\sphericalangle CAC’$.

Grupa 3

Przekroje prostopadłościanu.

[Ilustracja]

Przekrój, to wielokąt otrzymany w wyniku przecięcia prostopadłościanu dowolną płaszczyzną.

Grupa 4

Pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa.

PIndeks dolny c_c = 2· PIndeks dolny p_p + PIndeks dolny b_b, V = PIndeks dolny p_p· H

gdzie:

PIndeks dolny c_c – pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

PIndeks dolny p_p – pole powierzchni podstawy graniastosłupa

PIndeks dolny b_b – pole powierzchni bocznej graniastosłupa

V – objętość graniastosłupa

H – wysokość graniastosłupa

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest analiza rozwiązania przykładowego zadania przedstawionego w aplecie.

[Geogebra aplet]

Uczniowie pracują w dwuosobowych grupach. Rozwiązują zadania, wykorzystując poznaną wiedzę.

Polecenie 1

Narysuj graniastosłup prawidłowy czworokątny. Zaznacz w nim kąt między przekątną ściany bocznej, a płaszczyzną podstawy.

Polecenie 2

Oblicz objętość prostopadłościanu, w którym przekątna o długości 9 cm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°, wiedząc, że jedna z krawędzi podstawy jest dwa razy dłuższa od drugiej. Wykonaj odpowiedni rysunek.

Polecenie 3

Narysuj prostopadłościan i zaznacz w nim przekrój płaszczyzną przechodzącą przez przekątne podstaw. Oblicz pole tego przekroju, wiedząc, że wymiary prostopadłościanu są równe: 5 cm, 6 cm,
7 cm.

Nauczyciel podsumowuje i ocenia pracę grup, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:

Oblicz objętość sześcianu, w którym po zwiększeniu długości jego krawędzi o 1 cm, pole powierzchni całkowitej zwiększyło się o 66 cmIndeks górny 2².

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując informacje do zapamiętania.

- graniastosłup prosty to taki wielościan, którego dwie przystające ściany (podstawy graniastosłupa) są położone w równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany są prostokątami,
- jeżeli podstawą graniastosłupa jest wielokąt foremny, to mówimy, że taki graniastosłup jest prawidłowy,
- przekrój, to wielokąt otrzymany w wyniku przecięcia prostopadłościanu dowolną płaszczyzną,
- PIndeks dolny c_c = 2· PIndeks dolny p_p + PIndeks dolny b_b, V = PIndeks dolny p_p· H.