Temat

Iloczyn i iloraz potęg o takich samych podstawach

Etap edukacyjny

Drugi

Podstawa programowa

I. Potęgi o podstawach wymiernych. Uczeń:

2) mnoży i dzieli potęgi o wykładnikach całkowitych dodatnich.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Używanie prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretowanie pojęć matematycznych i operowanie obiektami matematycznymi.

Cele szczegółowe

1. Stosowanie twierdzeń o iloczynie i ilorazie potęg o takich samych podstawach.

2. Obliczanie wartości potęg o z wykorzystaniem twierdzeń o iloczynie i ilorazie potęg o takich samych podstawach.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- stosuje twierdzenia o iloczynie i ilorazie potęg o takich samych podstawach,

- oblicza wartości potęg o z wykorzystaniem twierdzeń o iloczynie i ilorazie potęg o takich samych podstawach.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. JIGSAW.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie przypominają, że potęgowanie to skrócony zapis mnożenia. Podają odpowiednie przykłady.

Realizacja lekcji

Uczniowie analizują przykłady.

$2^3·2^2=(2·2·2)·(2·2)=2^5$

$3^2·3^1·3^4 = (3·3)·3·(3·3·3·3) = 3·3·3·3·3·3·3 = 3^7$

Wspólnie zastanawiają się, jaka jest zależność między wykładnikami mnożonych potęg o takich samych podstawach, a wykładnikiem iloczynu. Rozważają problem, na podstawie własnych przykładów.

Polecenie
Sprawdzają swoje przypuszczenia, korzystając z komputerów i zapisują wniosek.

[Slideshow]

Wniosek:

- Iloczyn potęg o takich samych podstawach jest równy potędze o tej samej podstawie i wykładniku równym sumie wykładników mnożonych potęg:

$a^n\cdot a^m=a^{(n+m)}$
gdzie:
n i m - to liczby naturalne.

Dyskusja – jaki wzór otrzymamy, gdy będziemy dzielić potęgi o takiej samej podstawie?

Uczniowie podają odpowiednie przykłady. Korzystając z dzielenia ułamków, zapisują dzielenie w postaci mnożenia, którego jednym z czynników jest odwrotność dzielnika.

Uczniowie powinni wyciągnąć następujący wniosek:

- Iloraz potęg o takich samych podstawach jest równy potędze o tej samej podstawie i wykładniku równym różnicy wykładników dzielnej i dzielnika:

$\frac{a^n}{a^m}=a^{(n-m)}$ dla $a\ne 0$ oraz liczb naturalnych n i m takich, że $n>m$.

Uczniowie pracują metodą JIGSAW w grupach 4 – osobowych.

Każdy uczestnik grupy otrzymuje inne zadanie do rozwiązania z podanych poniżej. Po rozwiązaniu zadania uczniowie spotykają się w zespołach które rozwiązywały to samo zadania. Omawiają rozwiązania, wyjaśniają wątpliwości. Następnie wracają do początkowych grup i przedstawiają rozwiązania innym członkom grupy.

Polecenie
Zapisz wyrażenie za pomocą jednej potęgi.

a) $x^2·x^4$

b) $a^3·a^8$

c) $y^4·y^0$

d) $z^2·z^3·z^4$

e) $s^0·s·s^3$

Polecenie
Zapisz wyrażenie za pomocą jednej potęgi.

a) $x^5:x^2$

b) $a^9:a^8$

c) $y^5:y^0$

d) $z^{16}:z^8:z^4$

e) $s^{15}:s:s$

Polecenie
Uzupełnij wykładnik potęgi.

a) ${(-\frac{1}{2})}^7\cdot {(-\frac{1}{2})}^3:(-\frac{1}{2})={(-\frac{1}{2})}^{▫}$

b)  $3^{14}:3\cdot 3^2=3^{▫}$

c) $(-2{)}^{18}:(-2{)}^6\cdot (-2{)}^8=(-2{)}^{▫}$

d) ${(-\frac{1}{3})}^7:{(-\frac{1}{3})}^3\cdot (-\frac{1}{3})={(-\frac{1}{3})}^{▫}$

Polecenie
Zamień na podaną jednostkę i zapisz w postaci potęgi liczby 10.

a) 1000 km na cm,

b) 10000 m na mm,

c) 100 kg na dag,

d) 10 t na g.

Polecenie dla chętnych:
Zapisz za pomocą jednej potęgi.

a) Jedną ósmą liczby $2^7$.

b) Szesnastokrotność liczby $2^4$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zadania, formułując wnioski do zapamiętania.

- Iloczyn potęg o takich samych podstawach jest równy potędze o tej samej podstawie i wykładniku równym sumie wykładników:
$a^n\cdot a^m=a^{(n+m)}$
gdzie:
n i m - to liczby naturalne.

- Iloraz potęg o takich samych podstawach jest równy potędze o tej samej podstawie i wykładniku równym różnicy wykładników dzielnej i dzielnika:
$\frac{a^n}{a^m}=a^{(n-m)}$ dla $a\ne 0$ oraz liczb naturalnych n i m takich, że $n>m$.