Temat

Wycinek i odcinek koła

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

6) stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu;

11) stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Cele szczegółowe

1. Wyprowadzenie wzorów na pole wycinka i odcinka koła.

2. Obliczanie pola wycinka i odcinka koła.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- wyprowadza wzory na pole wycinka i odcinka koła,

- oblicza pole wycinka i odcinka koła.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca grupowa.

2. Praca indywidualna.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji nauczą się obliczać pole wycinka koła oraz pole odcinka koła.

Uczniowie przypominają definicję kąta środkowego. Przypominają wzór na pole koła oraz wzór na pole trójkąta, gdy dane są dwa jego boki i kąt między nimi.

Realizacja lekcji

Nauczyciel podaje definicję wycinka koła.

Definicja - wycinek koła.

- Wycinkiem koła nazywamy część koła ograniczoną ramionami kąta środkowego $\alpha$ i łukiem okręgu, na którym ten kąt jest oparty.

[Illustracja 1]

Nauczyciel podaje definicję odcinka koła.

Definicja - odcinek koła.

Odcinkiem koła nazywamy część koła ograniczoną cięciwą, wyznaczającą kąt środkowy $\alpha$ i łukiem okręgu, na którym ten kąt jest oparty.

[Illustracja 2]

Uczniowie pracują indywidualnie lub w parach, korzystając z komputerów. Obserwują związek między stosunkiem pola wycinka koła do pola koła, a stosunkiem kąta środkowego do kąta pełnego.

Polecenie
Otwórz Aplet geogebry: „Wycinek koła”. Zmieniaj położenie punktu A i odpowiedz na pytania:

1. Jak zmienia się stosunek pola wycinka koła  do pola koła?
2. Jak zmienia się stosunek miary kąta środkowego do kąta pełnego?
3. Czy pole wycinka koła  jest proporcjonalne do pola koła?  Czy współczynnik proporcjonalności zależy od miary  kąta wycinka koła?

[Geogebra aplet]

Na podstawie obserwacji zaproponuj wzór na pole wycinka koła.

Uczniowie wspólnie ustalają wzór na pole wycinka koła.

Wzór na pole wycinka koła.

- Pole wycinka koła o promieniu $r$ wyciętego przez kąt środkowy o mierze $\alpha$ wyraża się wzorem:

Dyskusja
Jak można obliczyć pole odcinka koła?

Uczniowie, korzystając z rysunku, zauważają, że  pole odcinka jest różnicą pola wycinka koła  o kącie środkowym $\alpha$ oraz pola trójkąta $\mathrm{ABS}$. Trójkąt ABS jest równoramienny, o ramionach będących promieniami okręgu i kącie $\alpha$ między nimi. Pole trójkąta $\mathrm{ABS}$ jest równe $P_{ABS}=\frac{1}{2}·r^2·sin\alpha$. Zatem pole odcinka  można wyznaczyć ze wzoru:

Następnie sprawdzają poprawność wzoru dla $\alpha =180°$ oraz dla $\alpha >180°$.

Uczniowie indywidualnie rozwiązują zadania, które następnie są wspólnie omawiane.

Polecenia 
1. W kole o promieniu 5 cm poprowadzono cięciwę o długości 5 cm. Oblicz pole wyznaczonego w ten sposób odcinka koła.

2. Kąt wpisany ma  miarą 60° i oparty jest na łuku AB koła o promieniu 3 cm. Oblicz pole wycinka tego koła ograniczonego łukiem AB.

3. Pole koła jest równe $144\pi$ cmIndeks górny 2². Wyznacz miarę kąta środkowego, dla którego pole wycinka tego koła jest równe $36\pi$ cmIndeks górny 2².

Polecenie dla chętnych:
W wycinek koła o promieniu 3 cm wpisano okrąg o promieniu 1 cm, tak jak pokazano na rysunku. Oblicz pole tego wycinka.

[Illustracja 3]

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują zadania utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia.

- Pole wycinka koła o promieniu $\mathrm{r}$ wyciętego przez kąt środkowy o mierze $\alpha$ wyraża się wzorem:

- Pole odcinka koła o promieniu $\mathrm{r}$ i kącie środkowym $\alpha$ wyraża się wzorem: