The circle sector and the segment of a circle

R1SI3r42jhkfA

Learning objectives

You will learn how to calculate the area of the circle sector and the area of the circle segment.

Learning effect

You can calculate the area of the circle sector and the area of the circle segment and solve problems.
You can describe in English the ways of calculating the area of the circle sector and the area of the circle segment.

Recollect the definition of the central anglecentral anglecentral angle. Do you remember the formulae for the area of the triangle when we know two of its sides and the angle between them?

Familiarize with the concept of the circle sectorcircle sectorcircle sector and circle segmentcircle segmentcircle segment.

The circle sector

Definition: The circle sector

RnR9dRHHPgoD91

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

The circle sectorcircle sectorcircle sector is the part of the disk enclosed by the arms of the central anglecentral anglecentral angle $α$ and the subtended arc.

ROzwV6E5SgrEs1

Rysunek przedstawia wycinek koła. Na rysunku zaznaczono środek koła S oraz kąt środkowy ASB miary α. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

The circle segment

Definition: The circle segment

RTxPr0Pghs6de1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

The circle segmentcircle segmentcircle segment is the part of the disk enclosed by the chordchordchord, indicating the central anglecentral anglecentral angle $α$ and the subtended arc.

R1UI9fDMBnCsn1

Rysunek przedstawia odcinek koła. Na rysunku oznaczono środek koła S oraz kąt środkowy ASB miary α oraz cięciwę AB. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Task 1

RM7wRyOqVrUOq1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Open the Geogebra: „The circle sector” applet. Change the position of point A and answer the questions:

How does the ratio of the area of the circlearea of the circlearea of the circle sector to the area of the circlearea of the circlearea of the circle change?
How does the ratio of the central anglecentral anglecentral angle to the full angle change?
Is the area of the circlearea of the circlearea of the circle sector proportional to the area of the circlearea of the circlearea of the circle? Does the constant of proportionality depend on the measure of the angle of the circle sectorcircle sectorcircle sector?

R1ZHGPswTYnAw1

R1aVgjBEKbfrv1

Rysunek przedstawia okrąg o środku S oraz kąt środkowy α. Kąt środkowy oparty jest na łuku AC. Dla α = 90 stopni (ćwiartka koła) stosunek pola wycinka do pola koła wynosi 0,25, podobnie jak stosunek miary kąta środkowego do kąta pełnego. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

RbVRUvUAwjjfX1

Rysunek przedstawia okrąg o środku S oraz kąt środkowy α. Kąt środkowy oparty jest na łuku AC. Dla α = 144 stopni stosunek pola wycinka do pola koła wynosi 0,4, podobnie jak stosunek miary kąta środkowego do kąta pełnego. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Suggest a formula for the area of the circlearea of the circlearea of the circle sector based on your observations. The formula for the area of the circle sector.

The area of the circle sector

Rule: The area of the circle sector

The area of the circle sector with radius $r$ cut out by the central angle measuring $α$ is expressed with formula:

P = \frac{α}{360 °} \cdot π \cdot r^{2}

Discussion

How can you calculate the circle segment?

R4oNp8mKWrExr1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

Derive the formula for the area of the circlearea of the circlearea of the circle segment.

Look at the diagram and notice that the area of the segment is the difference between the area of the circlearea of the circlearea of the circle sector with central anglecentral anglecentral angle $α$ and the area of triangle $ABS$ . Triangle $ABS$ is isosceles with sides being the radii of the circle and angle $α$ between them. The area of triangle $ABS$ equals $P_{A B S} = \frac{1}{2} \cdot r^{2} \cdot sin α$ . So, the area of the segment may be derived from the formula:

P_{o f t h e c i r c l e s e g m e n t} = r^{2} \cdot (\frac{α}{360 °^{}} \cdot π - \frac{1}{2} \cdot sin α)

Check the correctness of the formula for $α = 180 °$ and $α > 180 °$ .

Solve the following task.

Task 2

RjVLM6tOLR4qg1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

In the circle with radius of 5 cm there is a chordchordchord of 5 cm. Calculate the area of the circlearea of the circlearea of the circle segment.
Inscribed angle measures 60° and intercepts the arc AB of circle whose radius is 3 cm. Calculate the area of the sector of the circle enclosed by arc AB.
The area of the circlearea of the circlearea of the circle is $144 π$ cmIndeks górny 2. Find the measure of the central anglecentral anglecentral angle, for which the area of the sector of this circle equals $36 π$ cmIndeks górny 2.

Task 3

RDLNYc48fuL5b1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

nagranie abstraktu

An extra task:
A circle with radius of 1 cm was inscribed in the circle sectorcircle sectorcircle sector, as show in the diagram. Calculate the area of this sector.

R18ukXmzdVPn01

Rysunek przedstawia okrąg wpisany w wycinek koła. — Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Exercises

R1H330LzEe4UT

Exercise 1

The area of the circle equals $36 π c m^{2}$ . The area of the circle sector with the central angle of 120° equals. Determine which sentence is true.

$12 c m^{2}$
$18 π c m^{2}$
$12 π c m^{2}$
$6 c m^{2}$

R17QxJbriENt6

Exercise 2

A regular hexagon is inscribed in a circle whose radius is 4 cm. The sides of the hexagon cut off 6 identical circle segments. Find their area. Determine which sentence is true.

$\frac{16}{π} + \frac{24}{\sqrt{3}}$
$4 π \cdot (4 - \sqrt{3})$
$4 π \cdot (4 + \sqrt{3})$
$\frac{16}{π} - \frac{24}{\sqrt{3}}$

Exercise 3

Explain in English how to calculate the area of the circle sector.

Exercise 4

RTEte6eAzRALB

Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.

promień koła - circle radius
wycinek koła - circle sector
odcinek koła - circle segment
oparty na łuku - subtended by the arc
kąt środkowy - formula for the area
pole koła - subtended by the arc

zadanie

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

RFSnrse9buzoS1

Match Polish terms with their English equivalents.

circle sector
subtended by the arc
odcinek koła
circle segment
oparty na łuku
wycinek koła
central angle
kąt środkowy
wzór na pole
formula for the area

Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Glossary

area of the circle

pole koła

RS9eLdpsTTLga1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: area of the circle

central angle

kąt środkowy

R1Vah92Z98dGm1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: east longitude

chord

cięciwa

R14HVr9L68LxW1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: chord

circle radius

promień koła

R1Xw175G3dLIy1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: circle radius

circle sector

wycinek koła

R1SfxUzpG9mVI1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: circle sector

circle segment

odcinek koła

R1AAA5kOYIN8o1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: circle segment

formula for the area

wzór na pole

R1eqErvOjxf2l1

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: formula for the area

subtended by the arc

oparty na łuku

R8uAjcmBwyVKR

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

wymowa w języku angielskim: subtended by the arc

Keywords

central anglecentral anglecentral angle

circle sectorcircle sectorcircle sector – nazywamy część koła ograniczoną ramionami kąta środkowego $α$ i łukiem okręgu, na którym ten kąt jest oparty

circle segmentcircle segmentcircle segment – nazywamy część koła ograniczoną cięciwą, wyznaczającą kąt środkowy $α$ i łukiem okręgu, na którym ten kąt jest oparty.

formula for the areaformula for the areaformula for the area

subtended by the arcsubtended by the arcsubtended by the arc

Scenariusz

Exercises

Glossary

Keywords