Temat

Pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

X. Stereometria. Uczeń:

3) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów;

6) oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka, kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń;

7) wykorzystuje zależności między objętościami brył podobnych.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Szkicowanie siatek ostrosłupów.

3. Obliczanie pola powierzchni całkowitej i objętości ostrosłupów.

Efekty uczenia

Uczeń:

- szkicuje siatki ostrosłupów,

- oblicza pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupów.

Metody kształcenia

1. Niedokończone zdania.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie metodą niedokończonych zdań porządkują swoje wiadomości na temat ostrosłupów:

a) Wielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku nazywamy …

b) Ostrosłup, którego krawędzie boczne są równej długości nazywamy …

c) Ostrosłup, którego krawędzie boczne są równej długości i w podstawie jest wielokąt foremny nazywamy …

d) Ostrosłup, który w podstawie ma n‑kąt, ma … krawędzi.

e) Czworościan foremny to ostrosłup ...

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest przypomnienie i wykorzystanie wzorów na obliczanie pola powierzchni i objętości ostrosłupa.

Polecenie
Uczniowie, pracując w grupach, analizują materiał przedstawiony w aplecie. Zapisują odpowiednie wzory.

[Geogebra aplet]

Wzory na obliczanie pola powierzchni i objętości ostrosłupa.

Objętość $V$ ostrosłupa o polu podstawy $P_p$ i wysokości $H$ wyraża się wzorem:

Pole powierzchni całkowitej $P_c$ ostrosłupa o polu podstawy $P_p$ i polu powierzchni bocznej $P_b$, wyraża się wzorem:

Uczniowie wykorzystują zapisane wzory w zadaniach.

Polecenie
Oblicz pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego o krawędzi długości 12 cm.

Polecenie
Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równe $136\sqrt{3}$ cmIndeks górny 2², a pole podstawy $64\sqrt{3}$ cmIndeks górny 2². Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Polecenie
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 20. Pole podstawy jest czterokrotnie mniejsze od pola powierzchni bocznej. Oblicz wysokość ostrosłupa i jego objętość.

Polecenie
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy długości 4 cm i kącie nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy o mierze 60°.

Polecenie
W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym dłuższa przekątna podstawy jest równa 6, a kąt między krawędzią boczną a podstawą ma miarę 60°. Oblicz objętość bryły.

Polecenie
Flakonik perfum ma kształt ostrosłupa, którego pole podstawy jest równe 4 cmIndeks górny 2², a wysokość jest równa 9 cm. Pani Marta zużyła już 7 cmIndeks górny 3³ perfum. Wykaż, że we flakoniku pozostało mniej niż 5,5 cmIndeks górny 3³ perfum.

Polecenie dla chętnych
Na plaży koloniści zbudowali z piasku 8 zamków. Każda budowla miała kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 78 cm i krawędzi podstawy o długości 1 m. Czy piasku użytego do budowy zamków starczyłoby do wypełnienia piaskownicy w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 180 cm ∙ 2 m ∙ 25 cm?

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie formułują informacje do zapamiętania.

- Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe sumie pola podstawy i pól ścian bocznych.

- Objętość ostrosłupa równa jest jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości ostrosłupa.