Temat

Cechy przystawania trójkątów

Etap edukacyjny

Drugi

Podstawa programowa

VIII. Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie. Uczeń:

4) zna i stosuje cechy przystawania trójkątów.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii i formułowanie wniosków na ich podstawie.

Cele szczegółowe

1. Odkrycie cech przystawania trójkątów.

2. Wykorzystanie cech przystawania trójkątów.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- odkrywa cechy przystawania trójkątów,

- wykorzystuje cechy przystawania trójkątów.

Metody kształcenia

1. Burza mózgów.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie metodą burzy mózgów przypominają:

- jakie figury nazywamy przystającymi,

- jakie ma własności para figur przystających,

- jaka jest zależność między bokami i miarami kątów w trójkątach przystających.

Polecenie
Przypomnij sobie, jakie figury nazywamy przystającymi. Jakie mają własności?

Polecenie
Znajdź obraz trójkąta ABC w symetrii osiowej względem prostej p.

Czy trójkąt ABC i jego obraz są przystające?

Polecenie
Znajdź obraz trójkąta ABC w symetrii środkowej względem punktu B.

Czy trójkąt ABC i jego obraz są przystające?

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że aby stwierdzić, czy dwa trójkąty są przystające, nie trzeba korzystać z definicji przystawania, ale można wykorzystać cechy przystawania trójkątów, czyli warunki, jakie gwarantują ich przystawanie.

Polecenie
Nauczyciel dzieli uczniów na 4 – 5 osobowe grupy i prosi, aby zastanowili się, ile boków lub kątów trzeba sprawdzić, aby mieć pewność, że trójkąty są przystające. Po 10 minutach dyskusji w grupach uczniowie, wspólnie z nauczycielem podają cechy przystawania trójkątów.

Pierwsza cecha przystawania trójkątów: bok – bok – bok.

Jeżeli dwa trójkąty mają odpowiadające sobie boki równe, to te trójkąty są przystające.

[Ilustracja 1]

Jeżeli |AB| = |DE|, |AC| = |DF|, |CB| = |FE| to trójkąt ABC jest przystający do trójkąta DEF.

Zapisujemy symbolicznie:

Druga cecha przystawania trójkątów: bok – kąt – bok.

Jeżeli dwa boki i kąt zawarty pomiędzy nimi w jednym trójkącie, są równe dwóm bokom i kątowi zawartemu między nimi w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

[Ilustracja 2]

Jeżeli |AB| = |DE|, |AC| = |DF|, |∡BAC| = |∡EDF| to trójkąt ABC jest przystający do trójkąta DEF.

Trzecia cecha przystawania trójkątów: kąt – bok – kąt.

Jeżeli bok i dwa przyległe do niego kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm przyległym do niego kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające.

[Ilustracja 3]

Jeżeli |AB| = |DE|, |∡BAC| = |∡EDF|, |∡ABC| = |∡DEF| to trójkąt ABC jest przystający do trójkąta DEF.

Polecenie
Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów.

Ich zadaniem jest sprawdzenie, czy istnieje inny trójkąt o danych dwóch bokach i kącie, który nie leży między tymi bokami, który jest przystający do danego trójkąta.

[Geogebra aplet]

Po skończonym ćwiczeniu, przedstawiają wyniki swoich obserwacji, odpowiadając na pytania:

- Czy można zbudować trójkąt przystający do trójkąta o danych dwóch bokach i kącie, który nie leży między tymi bokami?

- Czy istnieje cecha przystawania trójkątów BBK?

Polecenie
Punkt E jest środkiem odcinka AB. Proste DA i BC są równoległe. Wykaż, że trójkąty ADE i BCE są przystające. Z jakiej cechy przystawania trójkątów trzeba skorzystać?

[Ilustracja 4]

Polecenie
Czy trójkąty przestawione na rysunku są przystające? Jeśli tak, z jakiej cechy przystawania to wynika?

[Ilustracja 5]

Wnioski:

Dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeśli mają odpowiednio równe:

- przyprostokątne,

- jedną z przyprostokątnych i przeciwprostokątną,

- przyprostokątną i kąt leżący naprzeciw tej przyprostokątnej,

- przeciwprostokątną i jeden z kątów ostrych.

Polecenie
Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przeciwprostokątnej długości 8 cm i kącie ostrym 40°, oraz trójkąt prostokątny DEF o przeciwprostokątnej długości 8 cm i kącie ostrym 50°. Czy te trójkąty są przystające?

Polecenie dla chętnych:
Wykaż, że pole trapezu ABCD jest równe polu trójkąta AFD.

[Ilustracja 6]

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia podsumowujące.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.

Pierwsza cecha przystawania trójkątów: bok – bok – bok.

- Jeżeli dwa trójkąty mają odpowiadające sobie boki równe, to te trójkąty są przystające.

Druga cecha przystawania trójkątów: bok – kąt – bok.

- Jeżeli dwa boki i kąt zawarty pomiędzy nimi w jednym trójkącie, są równe dwóm bokom i kątowi zawartemu między nimi w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

Trzecia cecha przystawania trójkątów: kąt – bok – kąt.

- Jeżeli bok i dwa przyległe do niego kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm przyległym do niego kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające.

Wnioski:

Dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeśli mają odpowiednio równe:

- przyprostokątne,

- jedną z przyprostokątnych i przeciwprostokątną,

- przyprostokątną i kąt leżący naprzeciw tej przyprostokątnej,

- przeciwprostokątną i jeden z kątów ostrych.