Temat

Zastosowania równania prostej: wysokości, środkowe, symetralne boków trójkąta

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Zakres podstawowy. Uczeń:

2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu itp.).

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Wyznaczanie równań prostych, które:
- zawierają wysokości trójkąta,
- zawierają środkowe trójkąta,
- są symetralnymi boków trójkąta.

2. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się

Efekty uczenia

Uczeń:

- wyznacza równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta,

- wyznacza równanie prostej zawierającej środkową trójkąta,

- wyznacza równanie symetralnej boku trójkąta.

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. Dyskusja.

Formy pracy

1. Praca grupowa.

2. Praca indywidualna.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Celem części wprowadzającej jest przypomnienie pojęć matematycznych, które będą wykorzystywane w toku lekcji:
- wysokości trójkąta i ortocentrum trójkąta,

- środkowej trójkąta i środka ciężkości trójkąta,

- symetralnej odcinka i okręgu opisanego na trójkącie,

- współczynnika kierunkowego prostej i równania prostej w postaci kierunkowej,

- równania prostej przechodzącej przez dwa punkty,

- warunku równoległości i warunku prostopadłości prostych.

Uczniowie w parach, korzystają z komputerów. Badają proste, które zawierają wysokości trójkąta, środkowe trójkąta i symetralne trójkąta. Pary losują jedną z trzech kart pracy.

Polecenie
Karta pracy nr 1.
Otwórz aplet: „Trójkąt, jego wysokości, środkowe i symetralne boków”. Wybierz opcję „wysokości trójkąta”. Zmieniaj położenie wierzchołków trójkąta i obserwuj, jak zmieniają się wysokości trójkąta, proste, które je zawierają i punkt przecięcia tych prostych.

[Geogebra aplet]

Zapisz wnioski w postaci:
- definicji wysokości trójkąta,

- twierdzenia o ortocentrum trójkąta (podaj tu również definicję ortocentrum trójkąta),

- klasyfikacji trójkątów ze względu na położenie ortocentrum trójkąta względem tego trójkąta.

Polecenie
Karta pracy nr 2.
Otwórz aplet: „Trójkąt, jego wysokości, środkowe i symetralne boków”. Wybierz opcję „środkowe trójkąta” . Zmieniaj położenie wierzchołków trójkąta i obserwuj, jak zmieniają się środkowe trójkąta i punkt przecięcia tych prostych.

Zapisz wnioski w postaci:

- definicji środkowej trójkąta,

- twierdzenia o środku ciężkości trójkąta (podaj tu również definicję środka ciężkości trójkąta),

- odpowiedzi na pytanie: Czy środek ciężkości trójkąta może znajdować się na zewnątrz tego trójkąta?

Polecenie
Karta pracy nr 3.
Otwórz aplet: „Trójkąt, jego wysokości, środkowe i symetralne boków”. Wybierz opcję „symetralne boków trójkąta”. Zmieniaj położenie wierzchołków trójkąta i obserwuj jak zmieniają się symetralne boków tego trójkąta i punkt przecięcia tych symetralnych.

Zapisz wnioski w postaci:
- definicji symetralnej odcinka,

- twierdzenia o środku okręgu opisanego na trójkącie,

- klasyfikacji trójkątów ze względu na położenie środka okręgu opisanego na trójkącie względem tego trójkąta.

Po skończonej pracy, uczniowie prezentują swoje ustalenia. Nauczyciel uzupełnia ewentualne braki tak, żeby padły następujące definicje i twierdzenia (powinny one być uczniom znane po realizacji stosownych tematów z planimetrii):

- definicja wysokości trójkąta jako odpowiedniego odcinka (nauczyciel powinien tu wspomnieć, że często mówiąc o wysokości trójkąta mamy na myśli nie odcinek, ale długość tego odcinka, dlatego pojęcie wysokości trójkąta występuje w dwóch znaczeniach) ,

- definicja ortocentrum trójkąta wraz z twierdzeniem o ortocentrum trójkąta (nauczyciel zwraca uwagę na to, że ortocentrum jest punktem przecięcia prostych i nie zawsze jest to punkt przecięcia odcinków),

- twierdzenie o klasyfikacji trójkątów ze względu na położenie ortocentrum trójkąta względem tego trójkąta,

- definicja środkowej trójkąta jako odpowiedniego odcinka,

- twierdzenia o środku ciężkości trójkąta (wystarczy, że uczniowie zapiszą, że wszystkie środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, nauczyciel może przypomnieć drugą część tego twierdzenia dotyczącą podziału środkowych środkiem ciężkości, choć znacznie ważniejsze jest podanie fizycznego sensu tego punktu, np. jako punktu, w którym podparta trójkątna deska do krojenia będzie utrzymywała się w równowadze) ,

- stwierdzenia, że środek ciężkości trójkąta zawsze leży wewnątrz tego trójkąta,

- definicja symetralnej odcinka (nauczyciel powinien tu wspomnieć o geometrycznej własności symetralnej odcinka, czyli zbiorze wszystkich punktów płaszczyzny równoodległych od końców tego odcinka),

- twierdzenie o okręgu opisanym na trójkącie wraz z definicją środka tego okręgu,

- twierdzenie o klasyfikacji trójkątów ze względu na położenie środka okręgu opisanego na trójkącie względem tego trójkąta.

Całe ćwiczenie ma charakter powtórzeniowy i powinno być wykonane w ciągu pierwszego kwadransa lekcji.

Realizacja lekcji

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Uczą się, jak wyznaczać równania prostych zawierających wysokości, środkowe i symetralne boków trójkąta.

Polecenie
Otwórz aplet: „Trójkąt, jego wysokości, środkowe i symetralne boków” ustal tak położenie wierzchołków trójkąta ABC, żeby A = ( - 3, 2), B = ( 2, - 3), C = ( 5, 6). Wyznacz:

a) równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka A,

b) równanie prostej zawierającej środkową BBIndeks dolny 1₁ trójkąta ABC,

c) równanie symetralnej boku AC.

Sprawdź poprawność każdego otrzymanego równania za pomocą apletu Równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

Po wykonaniu tego ćwiczenia, wskazani przez nauczyciela uczniowie zapisują wyznaczone przez siebie równania:

a) $h_A:y=-\frac{1}{3}x+1$,

b) $prB{B}_1:y=-7x+13$,

c) $sy{m}_{AC}:y=-2x+6$.

Nauczyciel inicjuje dyskusję na temat sposobu wyznaczania każdej z tych prostych. Tak kieruje dyskusją, żeby uczniowie zaproponowali algorytm wyznaczania każdej z prostych, przy czym za każdym razem zwraca uwagę na minimalną liczbę środków potrzebnych do realizacji zadania, np. jeśli uczniowie, przy wyznaczaniu równania prostej hIndeks dolny A_A, zaproponują następujący algorytm:

1. oblicz współczynnik kierunkowy prostej BC : $a_{BC}=\frac{6-(-3)}{5-2}=3$,

2. zapisz równanie prostej BC w postaci prIndeks dolny BC_BC: $y=3x+b$,

3. wstaw współrzędne punktu $B=(2,-3)$ do tego równania: $-3=3·2+b$ i oblicz $b=-9$,

4. zapisz równanie prostej BC : $y=3x-9$,

5. oblicz współczynnik kierunkowy prostej hIndeks dolny A_A, wiedząc, że jest ona prostopadła do prostej BC : $a_{h_A}=-\frac{1}{3}$,

6. zapisz równanie prostej hIndeks dolny A_A w postaci hIndeks dolny A_A: $y=-\frac{1}{3}x+b$,

7. wstaw współrzędne punktu $A=(-3,2)$ do tego równania: $2=-\frac{1}{3}·(-3)+b$ i oblicz $b=1$,

8. zapisze równanie prostej hIndeks dolny A_A : $y=-\frac{1}{3}x+b$,

to nauczyciel tak kieruje dyskusją na temat optymalizacji tego algorytmu, żeby przynajmniej skrócić algorytm o zbędne kroki: 2., 3., 4. Pokazuje też, jeśli uczniowie sami tego nie zaproponują, że można jeszcze bardziej skrócić algorytm, zastępując kroki 6. i 7. wykorzystaniem równania prostej $y=a(x-x_A)+y_A$. W efekcie podaje optymalny algorytm:

1. oblicz współczynnik kierunkowy prostej BC : $a_{BC}=\frac{6-(-3)}{5-2}=3$,

2. oblicz współczynnik kierunkowy prostej hIndeks dolny A_A, wiedząc, że jest ona prostopadła do prostej BC : $a_{h_A}=-\frac{1}{3}$,

3. zapisz równanie prostej hIndeks dolny A_A, wykorzystując równanie:

$y=a(x-x_A)+y_A$ prostej o danym współczynniku kierunkowym a i przechodzącej przez dany punkt $A=(x_A,y_A)$:

$h_A:y=-\frac{1}{3}(x-(-3\left)\right)+2$, czyli $y=-\frac{1}{3}x+1$.

Nauczyciel prosi o zapisanie analogicznego algorytmu w przypadku prostej zawierającej środkową BBIndeks dolny 1₁. Efektem dyskusji powinien być następujący optymalny algorytm:

1. oblicz współrzędne środka BIndeks dolny 1₁ boku AC : $B_1=\left(\frac{-3+5}{2},\frac{2+6}{2}\right)=\left(1,4\right)$,

2. oblicz współczynnik kierunkowy prostej BBIndeks dolny 1₁ : $a_{B{B}_1}=\frac{4-(-3)}{1-2}=-7$,

3. zapisz równanie prostej BBIndeks dolny 1₁, wykorzystując równanie:

$y=a(x-x_A)+y_A$ prostej o danym współczynniku kierunkowym a i przechodzącej przez dany punkt $A=(x_A,y_A)$:

$B{B}_1:y=-7(x-2)+(-3)$, czyli $y=-7x+11$.

W podobny sposób nauczyciel doprowadza do zapisania algorytmu wyznaczania równania symetralnej boku AC:

1. oblicz współrzędne środka BIndeks dolny 1₁ boku AC : $B_1=\left(\frac{-3+5}{2},\frac{2+6}{2}\right)=\left(1,4\right)$,

2. oblicz współczynnik kierunkowy prostej AC : $a_{AC}=\frac{6-2}{5-(-3)}=\frac{1}{2}$,

3. oblicz współczynnik kierunkowy prostej $sy{m}_{AC}$, wiedząc, że jest ona prostopadła do prostej AC : $a_{sy{m}_{AC}}=-2$,

4. zapisz równanie prostej $sy{m}_{AC}$, wykorzystując równanie:

$y=a(x-x_A)+y_A$ prostej o danym współczynniku kierunkowym a i przechodzącej przez dany punkt $A=(x_A,y_A)$:

$sy{m}_{AC}:y=-2(x-1)+4$, czyli $y=-2x+6$.

Polecenie
W trójkącie ABC z poprzedniego ćwiczenia wyznacz:

a) równania prostych zawierających wysokości trójkąta ABC opuszczone z wierzchołków B i C,

b) równania prostych zawierających środkowe AAIndeks dolny 1₁ i CCIndeks dolny 1₁ trójkąta ABC,

c) równania symetralnych boków AB i BC.

Sprawdź poprawność otrzymanych równań za pomocą apletu: „Równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty” (M403).

Uczniowie pracują indywidualnie rozwiązując następujące zadania.

Polecenie
Punkt D = ( 2, 0) jest środkiem boku BC trójkąta ABC, w którym A = ( - 6, 1), B = ( - 1, - 4). Wyznacz równanie:

a) prostej zawierającej wysokość opuszczoną z wierzchołka C tego trójkąta,

b) prostej przechodzącej przez środki boków AC i BC trójkąta ABC,

c) symetralnej boku AC trójkąta ABC.

Zadanie dla chętnych
Punkt P = ( 6, 9) jest środkiem boku CD rombu ABCD, w którym A = ( - 10, - 6) i B = ( 6, - 4). Wyznacz równania prostych zawierających boki BC i CD tego rombu.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują zadanie utrwalające i podsumowują lekcję, formułując najważniejsze informacje do zapamiętania.

Wzór na obliczanie współrzędnych środka odcinka oraz warunek prostopadłości prostych to podstawowe informacje przydatne przy wyznaczaniu równań prostych zawierających środkowe, wysokości i symetralne boków trójkąta.