Temat

Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń losowych

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.

Zakres podstawowy. Uczeń:

1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Obliczanie prawdopodobieństwa w modelu klasycznym.

2. Obliczanie prawdopodobieństwa doświadczeń dwuetapowych za pomocą metody drzewa.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym,

- oblicza prawdopodobieństwo doświadczeń dwuetapowych za pomocą metody drzewa.

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. JIGSAW.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie przypominają, uzyskane na ostatniej lekcji, informacje na temat prawdopodobieństwa.

Realizacja lekcji

Stosując poznane metody uczniowie rozwiązują zadanie.

Polecenie 1

Ze zbioru liczb dwucyfrowych utworzonych z cyfr {3, 5, 7} losujemy jedną liczbę. Wypisz elementy przestrzeni zdarzeń elementarnej Ω, wiedząc, że cyfry mogą się powtarzać. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana liczba jest większa od 55.

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest zapoznanie się z ilustracją interaktywną, opisującą metodę drzewa.

Na stole leżą trzy niebieski i dwa żółte kartoniki. Obok stoją dwa pudełka. W pudełku A jest jeden niebieski, zaś w pudełku B - jeden żółty kartonik i cztery niebieskie. Jeśli wybierzemy ze stołu niebieski kartonik, to losujemy z pudełka A, a jeśli żółty, to losujemy z pudełka B. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A, że wylosujemy dwa kartoniki w tym samym kolorze?

[Grafika interaktywna]

$P\left(A\right)=\frac{3}{5}·\frac{1}{2}+\frac{2}{5}·\frac{1}{5}=\frac{3}{10}+\frac{2}{25}=\frac{30}{100}+\frac{8}{100}=\frac{38}{100}=0,38$

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe 0,38.

Po skończonym ćwiczeniu przedstawiają wyniki swoich obserwacji:

Aby obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia metodą drzewa:

1. Wyniki doświadczenia przedstawiamy za pomocą drzewa
2. Zapisujemy na każdej gałęzi, jakie jest prawdopodobieństwo wyboru danej opcji na konkretnym etapie doświadczenia
3. Zaznaczamy gałęzie sprzyjające opisowi zdarzenia
4. Obliczamy iloczyn prawdopodobieństw zdarzeń z kolejnych etapów na zaznaczonych gałęziach
5. Obliczamy sumę uzyskanych iloczynów

Uczniowie ponownie rozwiązują podane na początku lekcji zadanie, korzystając tym razem z metody drzewa. Porównują otrzymane wyniki.

Nauczyciel dzieli uczniów na grupy 4 osobowe, które pracują metodą układanki JIGSAW. Każdy uczestnik grupy otrzymuje inne zadanie do rozwiązania z podanych poniżej. Po rozwiązaniu zadania uczniowie spotykają się w grupach, które rozwiązywały to samo zadanie. Omawiają rozwiązania, wyjaśniają wątpliwości.

Następnie wracają do początkowych grup i przedstawiają rozwiązania innym członkom grupy.

Polecenie 2

Rozwiąż zadanie wykorzystując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że dwukrotnie otrzymamy liczbę oczek nie mniejszą niż 4.

Polecenie 3

Rozwiąż zadanie wykorzystując metodę drzewa.

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że dwukrotnie otrzymamy liczbę oczek niemniejszą niż 4.

Polecenie 4

Rozwiąż zadanie wykorzystując metodę drzewa.

W woreczku jest pięć koralików niebieskich i dwa złote. Wyjmujemy kolejno dwa koraliki bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że oba koraliki są tego samego koloru.

Polecenie 5

Rozwiąż zadanie wykorzystując metodę drzewa.

W rzucie niesymetryczną monetą prawdopodobieństwo otrzymania orła jest równe $\frac{{\displaystyle 2}}{3}$, a reszki $\frac{{\displaystyle 1}}{3}$. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania w dwóch rzutach co najmniej jednego orła.

Nauczyciel ocenia pracę uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:

Na loterii, w pudełku było trzy razy mniej losów wygrywających niż pustych. Prawdopodobieństwo wylosowania jednego losu wygrywającego i jednego pustego wynosi $\frac{{\displaystyle 45}}{119}$. Ile losów wygrywających, a ile pustych znajduje się w pudełku?

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wiadomości do zapamiętania.

- Aby obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia metodą drzewa:

1. Wyniki doświadczenia przedstawiamy za pomocą drzewa,
2. Zapisujemy na każdej gałęzi, jakie jest prawdopodobieństwo wyboru danej opcji na konkretnym etapie doświadczenia,
3. Zaznaczamy gałęzie sprzyjające opisowi zdarzenia,
4. Obliczamy iloczyn prawdopodobieństw zdarzeń z kolejnych etapów na zaznaczonych gałęziach,
5. Obliczamy sumę uzyskanych iloczynów.