Temat

Równanie prostej w postaci ogólnej

Etap edukacyjny

trzeci

Podstawa programowa

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń:

2) posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak na przykład przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość lub prostopadłość do innej prostej, styczność do okręgu itp.);

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Poznanie równania prostej w postaci ogólnej.

3. Zamiana postaci ogólnej na postać kierunkową.

Efekty uczenia

uczeń:

- poznaje równanie prostej w postaci ogólnej,

- zamienia postać ogólną równania prostej na postać kierunkową.

Metody kształcenia

1. Otwarte ucho.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, pracując w grupach, metodą „otwarte ucho”, porządkują swoje wiadomości na temat równania kierunkowego prostej.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie równania ogólnego prostej.

Dyskusja - czy każdą prostą w układzie współrzędnych możemy opisać równaniem w postaci kierunkowej? Uczniowie stawiają hipotezy, sprawdzają je i formułują wniosek.

Wniosek

Równaniem w postaci kierunkowej nie można opisać prostej prostopadłej do osi OX.

Nauczyciel informuje uczniów, że istnieją inne równania, którymi możemy opisać proste w układzie współrzędnych. Jednym  z nich jest równanie ogólne prostej.

Definicja

Równaniem ogólnym prostej nazywamy równanie mające postać $Ax+By+C=0$, gdzie $A^2+B^2\ne 0$. Warunek $A^2+B^2\ne 0$ oznacza, że współczynniki A oraz B nie mogą być jednocześnie równe zeru.

Uczniowie, pracując w grupach, analizują POKAZ INTERAKTYWNY, który pokazuje sposób zamiany postaci kierunkowej równania prostej na postać ogólną i odwrotnie. Formułują odpowiednie wnioski.

[Ilustracja interaktywna]

Wnioski

- Aby zamienić postać kierunkową równania prostej na postać ogólną, należy wszystkie wyrazy równania przenieść na jedną stronę i pomnożyć obie strony równania przez taką liczbę, aby wszystkie otrzymane współczynniki były liczbami całkowitymi.

- Aby zamienić postać ogólną równania prostej $Ax+By+C=0$ na postać kierunkową, należy przenieść wyrazy Ax i C na prawą stronę równania. Jeśli $B\ne 0$, to należy podzielić przez B obie strony równania.

Uczniowie, pracując samodzielnie, zastanawiają się w jaki sposób można wyznaczyć równanie ogólne prostej przechodzącej przez dwa punkty.

Polecenie 1
Wyznacz równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty $A(x_A;y_A)$ i $B(x_B;y_B)$, gdzie $x_A\ne x_B$. Sformułuj odpowiedni wniosek.

Wniosek

Równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty $A(x_A;y_A)$ i $B(x_B;y_B)$, gdzie $x_A\ne x_B$ ma postać $(y-y_A)(x_A-x_B)-(y_A-y_B)(x-x_A)=0$

Korzystając z nowych wiadomości, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.

Polecenie 2
Przedstaw równanie prostej $k:y+\frac{x-3}{2}=\frac{x+1}{5}$ w postaci ogólnej.

Odp. $3x+10y-17=0$.

Polecenie 3
Wyznacz równanie ogólne prostej k, do której należą punkty $A(-3;-4)$ i $B(4;7)$.

Odp. $7x-11y+49=0$.

Polecenie 4

Napisz równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty $A(2;6)$ i $B(4;8)$. Sprawdź, czy punkt $C(-1;-3)$ należy do tej prostej.

Odp. $x-y+4=0$, nie należy.

Polecenie 5
Punkt $A(a;3)$ należy do prostej $2x+y-5=0$. Oblicz a.

Odp. $a=1$.

Po rozwiązaniu wszystkich zadań uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki. Nauczyciel ocenia ich prace i wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych
Dla jakiej wartości liczby m proste $k:x-my+4+m=0$ oraz $l:2mx+y-m-1=0$ przecinają się na osi rzędnych?

Odp. $m\in \{-2,2\}$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.

- Równaniem w postaci kierunkowej nie można opisać prostej prostopadłej do osi OX.

- Aby zamienić postać kierunkową równania prostej na postać ogólną należy wszystkie wyrazy równania przenieść na jedną stronę i pomnożyć obie strony równania przez taką liczbę, aby wszystkie otrzymane współczynniki były liczbami całkowitymi.

- Aby zamienić postać ogólną równania prostej $Ax+By+C=0$ na postać kierunkową należy przenieść wyrazy Ax i C na drugą stronę równania. Jeśli $B\ne 0$, to należy podzielić przez B obie strony równania.

- Równanie ogólne prostej przechodzącej przez punkty $A(x_A;y_A)$ i $B(x_B;y_B)$, gdzie $x_A\ne x_B$ ma postać $(y-y_A)(x_A-x_B)-(y_A-y_B)(x-x_A)=0$.