Temat

Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcje. Uczeń:

4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane;

7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem;

9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;

12) na podstawie wykresu funkcji y=f(x) szkicuje wykresy funkcji y=f(x‑a), y=f(x)+b, 
y=-f(x), y=f(-x).

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Cele szczegółowe

1. Rysowanie wykresu jednomianu i określanie jego własności.

2. Szkicowanie na podstawie wykresu funkcji $y=a{x}^2$ wykresów funkcji $y=a(x-p{)}^2$oraz $y=a{x}^2+q$.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- rysuje wykres jednomianu i określa jego własności,

- na podstawie wykresu funkcji $y=a{x}^2$, szkicuje wykresy funkcji $y=a(x-p{)}^2$oraz $y=a{x}^2+q$.

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. Stacje eksperckie.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Sześciu uczniów tworzy trzy grupy eksperckie i przygotowuje przed lekcją informacje na jeden temat, wybrany z poniższych.

I. Jednomian kwadratowy - wzór ogólny, wykres.

II. Własności jednomianu kwadratowego.

III. Przekształcenia wykresów funkcji.

Realizacja lekcji

Uczniowie – eksperci kolejno prezentują przygotowane przez siebie informacje. Po prezentacji odpowiadają na pytania pozostałych uczniów i wyjaśniają wątpliwości.

Informacje, które powinny znaleźć się w prezentacjach grup eksperckich.

I grupa ekspertów

Jednomian kwadratowy - wzór ogólny, wykres.

Wzór ogólny funkcji wykładniczej: $f\left(x\right)=a{x}^2$, gdzie $x\in R$.

Wykres funkcji $f\left(x\right)=x^2$, gdzie $x\in R$.

[Ilustracja 1] 

- wykres funkcji $f\left(x\right)=x^2$, gdzie $x\in R$ nazywamy parabolą,
- punkt O = (0, 0) nazywamy wierzchołkiem tej paraboli,
- wierzchołek dzieli parabolę na dwie części, które nazywamy ramionami paraboli,
- prosta x = 0 jest osią symetrii tej paraboli,
- im większa wartość bezwzględna współczynnika a, tym bliżej osi OY znajdują się ramiona paraboli,
- jeśli współczynnik a > 0, to ramiona paraboli są skierowane do góry, jeśli współczynnik a < 0, to ramiona paraboli są skierowane do dołu.

II grupa ekspertów

Własności jednomianu kwadratowego:

- dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,
- zbiorem wartości jest przedział$\langle 0,\infty )$,
- osią symetrii wykresu funkcji jest prosta o równaniu x = 0,
- ma jedno miejsce zerowe x = 0,
- jest malejąca w przedziale $(-\infty ,0)$ oraz rosnąca w przedziale $(0,\infty )$,
- osiąga wartość najmniejszą równą 0 dla argumentu 0, nie przyjmuje wartości największej,
- nie jest różnowartościowa.

III grupa ekspertów

Przekształcenia wykresów funkcji:

- przesuwając wykres funkcji $y=a{x}^2$ o p jednostek wzdłuż osi OX zgodnie z kierunkiem osi, otrzymujemy wykres funkcji $y=a(x-p{)}^2$,
- przesuwając wykres funkcji $y=a{x}^2$ o q jednostek wzdłuż osi OY zgodnie z kierunkiem osi, otrzymujemy wykres funkcji $y=a{x}^2+q$.

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest przeanalizowanie, jak zmienia się wykres jednomianów w omawianych przekształceniach i jak wygląda wzór tej funkcji
w poszczególnych przypadkach.

[Geogebra aplet]

Nauczyciel dzieli uczniów na grupy. Każda z grup zadaniowych, rozwiązuje przygotowane przez nauczyciela zadania. Eksperci wspierają uczniów, wyjaśniają wątpliwości. Nauczyciel nadzoruje pracę grup.

Polecenie 1

Wiedząc, że $f\left(x\right)=x^2$, $g\left(x\right)=-x^2$ oraz $h\left(x\right)=2x^2$, oblicz:

a) $f\left(\frac{1}{3}\right)$

b) $f(-3)$

c) $g\left(2\right)$

d) $g(-2)$

e) $h\left(\frac{1}{2}\right)$

f) $h(-1)$

Polecenie 2

Narysuj wykresy funkcji:

a) $y=2x^2-2$

b) $y=\frac{1}{2}(x-2{)}^2$

Polecenie 3

Podaj wzory funkcji przedstawionych na wykresie, a następnie określ ich własności.

[Ilustracja 2]

Polecenie dla chętnych:

Wykaż, że jeśli funkcja f jest określona wzorem $f\left(x\right)=x^2$, gdzie $x\in R$, to dla każdej liczby naturalnej n, różnica $f(n+3)-f(n+1)$ jest liczbą naturalną podzielną przez cztery.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wiadomości do zapamiętania.

- wykres funkcji f(x) = xIndeks górny 2², gdzie x∈R nazywamy parabolą,
- punkt O = (0, 0) nazywamy wierzchołkiem tej paraboli,
- wierzchołek dzieli parabolę na dwie części, które nazywamy ramionami paraboli,
- prosta x = 0 jest osią symetrii tej paraboli,
- im większa wartość bezwzględna współczynnika a, tym bliżej osi OY znajdują się ramiona paraboli,
- jeśli współczynnik a > 0, to ramiona paraboli są skierowane do góry, jeśli współczynnik a < 0, to ramiona paraboli są skierowane do dołu,
- przesuwając wykres funkcji $y=a{x}^2$ o p jednostek wzdłuż osi OX zgodnie z kierunkiem osi, otrzymujemy wykres funkcji $y=a(x-p{)}^2$,
- przesuwając wykres funkcji $y=a{x}^2$ o q jednostek wzdłuż osi OY zgodnie z kierunkiem osi, otrzymujemy wykres funkcji $y=a{x}^2+q$.