Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych
Learning objectives
Learning effect
RNEB77hMi2hmO 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Prepare information divided into such groups:
Quadratic monomial – the general formula, the plot.
Properties of the quadratic monomial.
Transformations of plots of functions.
1. Quadratic monomial – the general formula, the plot.
General formula of the exponential function: f ( x ) = a x 2 where x ∈ R ,
The plot of the function plot of the function plot of the function f ( x ) = x 2 where x ∈ R .
R3XF3Rph8EcPA 1 Wykres krzywej y = x do potęgi drugiej, zwanej parabolą, leżącej w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Ramiona paraboli są symetryczne względem osi OY. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (0,0).
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R1SKs6FNg2RPP 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
The plot of the function f ( x ) = x 2 where x ∈ R is called a parabola.
The point O = (0, 0) is called the vertex of the parabola vertex of the parabola vertex of the parabola .
The vertex divides the parabola into two parts called arms of the parabola.
The line x = 0 is the parabola’s axis of symmetry parabola’s axis of symmetry parabola’s axis of symmetry .
The greater the absolute value of the coefficient a, the closer the arms are to the axis Y.
If the coefficient a coefficient a coefficient a > 0, then the parabola opens up.
If the coefficient a < 0, then the parabola opens down.
2. Properties of the quadratic monomial.
R1dYM0fwRdZNM 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
The domain is the set of real numbers.
The range is the interval 〈 0 , ∞ ) .
The axis of symmetry of the plot is the line x = 0.
It has one root x = 0.
It is decreasing in the interval ( - ∞ , 0 ) and decreasing in the interval ( 0 , ∞ ) .
It reaches the smallest value equal to 0 for the argument 0, it does not reach the greatest value.
It is not injective.
3. Transformation of the plot of the function plot of the function plot of the function .
R1bsPUBBTGW8F 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
By translating the plot of the function y = a x 2 by p units along the X axis in accordance with the direction of the axis, we obtain the plot of the function y = a ( x - p ) 2 .
By translating the plot of the function y = a x 2 by q units along the Y axis in accordance with the direction of the axis, we obtain the plot of the function y = a x 2 + q .
Task 1
R1IsdZPBnHmNy 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Open the applet and analyse how the plot of monomials changes in discussed translations and how the plot of the function looks in various cases.
R1aZJSaXLg3xG Aplikacja geogebra - Przekształcenia wykresów jednomianów. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.
Aplikacja geogebra - Przekształcenia wykresów jednomianów. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji. Translations of plots of monomials
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Przejdź do poprzedniej ilustracji
Przejdź do następnej ilustracji
RvN05azN5493H 1 Na rysunku przedstawiona jest parabola – wykres funkcji y równa się x do kwadratu.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Rr7e2XfRxHnGz 1 Na rysunku przedstawiona jest parabola – wykres funkcji y równa się x do kwadratu oraz wykres funkcji otrzymany w wyniku przesunięcia o trzy jednostki w lewo wzdłuż osi OX y równa się x+3 w nawiasie podniesione do drugiej potęgi..
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R12DyjUrczipZ 1 Na rysunku przedstawiona jest parabola – wykres funkcji y równa się x do kwadratu oraz wykres funkcji otrzymany w wyniku przesunięcia o pięć jednostek w dół wzdłuż osi OY y równa się x do kwadratu odjąć 5.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Task 2
RErKcehI4aRFZ 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Knowing that f ( x ) = x 2 , g ( x ) = - x 2 and h ( x ) = 2 x 2 , calculate:
f ( 1 3 ) , f ( - 3 )
g ( 2 ) , g ( - 2 )
h ( 1 2 ) , h ( - 1 )
Task 3
RnnLTedzVMPiR 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Draw plots of functions:
Task 4
RRHwrxdoWDXQ5 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Give formulas of functions presented in the plot and then give their properties.
R10tbDIBwJDJ6 1 Wykres dwóch funkcji f(x) = jedna druga razy x kwadrat oraz g z indeksem dolnym jeden = jedna druga razy (x +3) do kwadratu.
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Task 5
An extra task:
Prove that if the function f is defined by the formula f ( x ) = x 2 , where x ∈ R then for each natural number n, the difference f ( n + 3 ) - f ( n + 1 ) is a number that can be divided by four.
Do the revision exercises.
RN2sEVpZEodKu 1 nagranie abstraktu
nagranie abstraktu
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
The plot of the function plot of the function plot of the function f ( x ) = x 2 where x ∈ R, is called a parabola.
The point O = (0, 0) is called the vertex of the parabola vertex of the parabola vertex of the parabola .
The vertex divides the parabola into two parts called arms of the parabola.
The line x = 0 is the parabola’s axis of symmetry parabola’s axis of symmetry parabola’s axis of symmetry .
The greater the absolute value of the coefficient a, the closer the arms are to the axis Y.
If the coefficient a coefficient a coefficient a > 0, then the parabola opens up.
If the coefficient a < 0, then the parabola opens down.
By translating the plot of the function y = a x 2 by p units along the X axis in accordance with the direction of the axis, we obtain the plot of the function y = a ( x - p ) 2 .
By translating the plot of the function y = a x 2 by q units along the Y axis in accordance with the direction of the axis, we obtain the plot of the function y = a x 2 + q .
Exercises R13aLF7O91YB3 Exercise 1
Wersja alternatywna ćwiczenia: Give the maximum compartment in which the function y = 3(x - 5)2 is increasing. Możliwe odpowiedzi: 1. 〈-5,∞) , 2. (-∞,-5〉 , 3. 〈5,∞) , 4. (-∞,5〉
Wersja alternatywna ćwiczenia: Give the maximum compartment in which the function y = 3(x - 5)2 is increasing. Możliwe odpowiedzi: 1. 〈-5,∞) , 2. (-∞,-5〉 , 3. 〈5,∞) , 4. (-∞,5〉
Give the maximum compartment in which the function y = 3(x - 5)2 is increasing.
〈-5,∞)
(-∞,-5〉
〈5,∞)
(-∞,5〉
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Exercise 2
Draw the plot of the monomial y = 3 x 2 , and then a plot created as a result of translating this plot 5 units down along the Y axis. Write the equation of the obtained parabola, the coordinates of its vertex and the equation of the axis of symmetry.
Show solution The equation of the parabola: y = 3 x 2 - 5
Coordinates of the vertex: ( 0 , - 5 )
The equation of the axis of symmetry: x = 0
Exercise 3
Draw the plot of the monomial y = - x 2 and identify its properties in English.
Rdty6YU2aSDCe Exercise 4
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. wykres funkcji - plot of the function , 2. wierzchołek paraboli - vertex of the parabola , 3. oś symetrii paraboli - parabola’s axis of symmetry , 4. przesunięcie wykresu funkcji y=ax2 o q jednostek wzdłuż osi OY - translation of the plot y=ax2 by q units along the Y axis , 5. ramiona paraboli - vertex of the parabola , 6. oś symetrii paraboli - plot of the function
Wersja alternatywna ćwiczenia: Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly. Możliwe odpowiedzi: 1. wykres funkcji - plot of the function , 2. wierzchołek paraboli - vertex of the parabola , 3. oś symetrii paraboli - parabola’s axis of symmetry , 4. przesunięcie wykresu funkcji y=ax2 o q jednostek wzdłuż osi OY - translation of the plot y=ax2 by q units along the Y axis , 5. ramiona paraboli - vertex of the parabola , 6. oś symetrii paraboli - plot of the function
Indicate which pairs of expressions or words are translated correctly.
wykres funkcji - plot of the function
wierzchołek paraboli - vertex of the parabola
oś symetrii paraboli - parabola’s axis of symmetry
przesunięcie wykresu funkcji y=ax2 o q jednostek wzdłuż osi OY - translation of the plot y=ax2 by q units along the Y axis
ramiona paraboli - vertex of the parabola
oś symetrii paraboli - plot of the function
zadanie
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
R1PtPj2UCgmfX 1 Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Interaktywna gra, polegająca na łączeniu wyrazów w pary w ciągu jednej minuty. Czas zaczyna upływać wraz z rozpoczęciem gry. Jeden ruch to odkrywanie najpierw jednej potem drugiej karty z wyrazem. Każdy wyraz jest odczytywany. Kolejny ruch to odkrywanie trzeciej i czwartej karty. W ten sposób odsłuchasz wszystkie wyrazy. Nawigacja z poziomu klawiatury za pomocą strzałek, odsłuchiwanie wyrazów enterem lub spacją. Znajdź wszystkie pary wyrazów.
Match Polish terms with their English equivalents.
oŁ symetrii paraboli
wierzcho│ek paraboli
wykres funkcji
vertex of the parabola
plot of the function
parabolałs arms
ramiona paraboli
parabolałs axis of symmetry
Source: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Glossary coefficient a coefficient a
współczynnik a
RES6kSxhYD2PN 1 wymowa w języku angielskim: coefficient a
wymowa w języku angielskim: coefficient a
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
parabola’s arms parabola’s arms
ramiona paraboli
R1Pkq0kfkTMCX 1 wymowa w języku angielskim: parabola’s arms
wymowa w języku angielskim: parabola’s arms
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
parabola’s axis of symmetry parabola’s axis of symmetry
oś symetrii paraboli
R1ZyYdxRWKM4T 1 wymowa w języku angielskim: parabola’s axis of symmetry
wymowa w języku angielskim: parabola’s axis of symmetry
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
plot of the function plot of the function
wykres funkcji
RceOSifacJTXz 1 wymowa w języku angielskim: plot of the function
wymowa w języku angielskim: plot of the function
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
translation of the plot along the X axis translation of the plot along the X axis
przesunięcie wykresu funkcji wzdłuż osi OX
R8Y4OC4Yd9XiR 1 wymowa w języku angielskim: translation of the plot along the X axis
wymowa w języku angielskim: translation of the plot along the X axis
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
translation of the plot of the function translation of the plot of the function
przesunięcie wykresu funkcji
RRW4HoOxLVxnt 1 wymowa w języku angielskim: translation of the plot of the function
wymowa w języku angielskim: translation of the plot of the function
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
vertex of the parabola vertex of the parabola
wierzchołek paraboli
RSBfuVcj9LB4w 1 wymowa w języku angielskim: vertex of a parabola
wymowa w języku angielskim: vertex of a parabola
Source: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
Keywords coefficient a coefficient a coefficient a
parabola’s axis of symmetry parabola’s axis of symmetry parabola’s axis of symmetry
plot of the function plot of the function plot of the function
vertex of the parabola vertex of the parabola vertex of the parabola