Jednomian kwadratowy i jego własności. Przesunięcie wykresu jednomianu kwadratowego wzdłuż osi układu współrzędnych

Learning objectives

• You will learn to draw the plot of a monomial and identify its properties as well as draw plots of functions $y=a(x-p{)}^2$ and $y=a{x}^2+q$ based on the plot of the functionplot of the functionplot of the function $y=a{x}^2$.

Learning effect

• You draw the plot of a monomial and identify its properties as well as draw plots of functions $y=a(x-p{)}^2$ and $y=a{x}^2+q$ based on the plot of the function $y=a{x}^2$.

Prepare information divided into such groups:

1. Quadratic monomial – the general formula, the plot.

2. Properties of the quadratic monomial.

3. Transformations of plots of functions.

1. Quadratic monomial – the general formula, the plot.

General formula of the exponential function: $f\left(x\right)=a{x}^2$ where $x\in R$,

The plot of the functionplot of the functionplot of the function $f\left(x\right)=x^2$ where $x\in R$.

R3XF3Rph8EcPA1

Wykres krzywej y = x do potęgi drugiej, zwanej parabolą, leżącej w pierwszej i drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Ramiona paraboli są symetryczne względem osi OY. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie (0,0).

• The plot of the function $f\left(x\right)=x^2$ where $x\in R$ is called a parabola.

• The point O = (0, 0) is called the vertex of the parabolavertex of the parabolavertex of the parabola.

• The vertex divides the parabola into two parts called arms of the parabola.

• The line x = 0 is the parabola’s axis of symmetryparabola’s axis of symmetryparabola’s axis of symmetry.

• The greater the absolute value of the coefficient a, the closer the arms are to the axis Y.

• If the coefficient acoefficient acoefficient a> 0, then the parabola opens up.

• If the coefficient a < 0, then the parabola opens down.

2. Properties of the quadratic monomial.

• The domain is the set of real numbers.

• The range is the interval $\langle 0,\infty )$.

• The axis of symmetry of the plot is the line x = 0.

• It has one root x = 0.

• It is decreasing in the interval $(-\infty ,0)$ and decreasing in the interval $(0,\infty )$.

• It reaches the smallest value equal to 0 for the argument 0, it does not reach the greatest value.

• It is not injective.

3. Transformation of the plot of the functionplot of the functionplot of the function.

• By translating the plot of the function $y=a{x}^2$ by p units along the X axis in accordance with the direction of the axis, we obtain the plot of the function $y=a(x-p{)}^2$.

• By translating the plot of the function $y=a{x}^2$ by q units along the Y axis in accordance with the direction of the axis, we obtain the plot of the function $y=a{x}^2+q$.

Task 1

R1IsdZPBnHmNy1

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Open the applet and analyse how the plot of monomials changes in discussed translations and how the plot of the function looks in various cases.

R1aZJSaXLg3xG

Aplikacja geogebra - Przekształcenia wykresów jednomianów. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.

Aplikacja geogebra - Przekształcenia wykresów jednomianów. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DKh4nMlsL

RvN05azN5493H1

Na rysunku przedstawiona jest parabola – wykres funkcji y równa się x do kwadratu.

Rr7e2XfRxHnGz1

Na rysunku przedstawiona jest parabola – wykres funkcji y równa się x do kwadratu oraz wykres funkcji otrzymany w wyniku przesunięcia o trzy jednostki w lewo wzdłuż osi OX y równa się x+3 w nawiasie podniesione do drugiej potęgi..

R12DyjUrczipZ1

Na rysunku przedstawiona jest parabola – wykres funkcji y równa się x do kwadratu oraz wykres funkcji otrzymany w wyniku przesunięcia o pięć jednostek w dół wzdłuż osi OY y równa się x do kwadratu odjąć 5.

Task 4

RRHwrxdoWDXQ51

nagranie abstraktu

nagranie abstraktu

Nagranie dostępne na portalu epodreczniki.pl

nagranie abstraktu

Give formulas of functions presented in the plot and then give their properties.

R10tbDIBwJDJ61

Wykres dwóch funkcji f(x) = jedna druga razy x kwadrat oraz g z indeksem dolnym jeden = jedna druga razy (x +3) do kwadratu.

Do the revision exercises.

• The plot of the functionplot of the functionplot of the function $f\left(x\right)=x^2$ where x ∈ R, is called a parabola.

• The point O = (0, 0) is called the vertex of the parabolavertex of the parabolavertex of the parabola.

• The vertex divides the parabola into two parts called arms of the parabola. 

• The line x = 0 is the parabola’s axis of symmetryparabola’s axis of symmetryparabola’s axis of symmetry. 

• The greater the absolute value of the coefficient a, the closer the arms are to the axis Y. 

• If the coefficient acoefficient acoefficient a > 0, then the parabola opens up. 

• If the coefficient a < 0, then the parabola opens down. 

• By translating the plot of the function $y=a{x}^2$ by p units along the X axis in accordance with the direction of the axis, we obtain the plot of the function $y=a(x-p{)}^2$. 

• By translating the plot of the function $y=a{x}^2$ by q units along the Y axis in accordance with the direction of the axis, we obtain the plot of the function $y=a{x}^2+q$.

Exercises

Glossary

Keywords

coefficient acoefficient acoefficient a

parabola’s axis of symmetryparabola’s axis of symmetryparabola’s axis of symmetry

plot of the functionplot of the functionplot of the function

vertex of the parabolavertex of the parabolavertex of the parabola