Temat

Sinus i cosinus kąta ostrego

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VII. Trygonometria. Uczeń:

1) wykorzystuje definicje funkcji sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°;

2) znajduje przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tablic lub kalkulatora;

3) znajduje za pomocą tablic lub kalkulatora przybliżoną wartość kąta, jeśli dana jest wartość funkcji trygonometrycznej.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Poznanie definicji funkcji sinus i cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.

3. Obliczanie wartości funkcji sinus i cosinus kątów ostrych w trójkącie prostokątnym.

Efekty uczenia

Uczeń:

- poznaje definicje funkcji sinus i cosinus kątów ostrych w trójkącie prostokątnym,

- oblicza wartości funkcji  sinus i cosinus  kątów ostrych w trójkącie prostokątnym.

Metody kształcenia

1. Diamentowe uszeregowanie.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, pracując w grupach, metodą diamentowego uszeregowania, porządkują wiadomości na temat podobieństwa trójkątów prostokątnych. Po zakończonej pracy prezentują swoje plansze. Nauczyciel weryfikuje zebrane informacje, wyjaśnia wątpliwości.

Realizacja lekcji

Nauczyciel podaje cel lekcji - poznanie definicji dwóch funkcji trygonometrycznych zwanych sinus i cosinus.

Nauczyciel informuje uczniów, że stosunki długości boków trójkąta prostokątnego otrzymały własne nazwy.

Definicja

[Ilustracja 1]

- W trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α do długości przeciwprostokątnej nazywamy sinusem kąta ostrego α. Oznaczamy go sin α.

$sin\alpha =\frac{a}{c}$

- W trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α do długości przeciwprostokątnej nazywamy cosinusem kąta ostrego α. Oznaczamy go cos α.

$cos\alpha =\frac{b}{c}$

Korzystając z powyższej definicji, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadanie.

Polecenie
Dany jest trójkąt prostokątny, o bokach długości:

a) 6, 8, 10,

b) 5, 12, 13,

c) 3, 6, $3\sqrt{5}$.

Oblicz wartości funkcji sinus i cosinus kątów ostrych tego trójkąta.

Dyskusja – jakie wartości mogą przyjmować funkcje sinus i cosinus kąta ostrego?

Uczniowie analizując materiał przedstawiony w aplecie. Formułują wniosek.

Polecenie
Przeanalizuj materiał przedstawiony w aplecie. Zmieniaj miary kąta i obserwuj zmiany wartości funkcji sinus i cosinus. Co zauważasz? Zanotuj odpowiedni wniosek.

[Geogebra aplet]

Wniosek:

- Wraz ze wzrostem miary kąta ostrego wzrasta wartość sinusa, a maleje wartość cosinusa.

- Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są nierówności:

0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1.

Polecenie
Wyznacz funkcje sinus i cosinus obu kątów ostrych w trójkącie prostokątnym przedstawionym na rysunku. Co zauważasz? Zanotuj odpowiedni wniosek.

[Ilustracja 2]

Wniosek:

- Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są równości:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

Korzystając z nowych wiadomości uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.

Polecenie
Przekątna prostokąta o bokach długości 15 cm i 25 cm dzieli prostokąt na dwa trójkąty. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych tych trójkątów.

Polecenie
Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego, w którym jedna przyprostokątna jest trzy razy dłuższa od drugiej.

Polecenie
Zbuduj taki kąt α, α ∈ (0, 90°), dla którego $cos\alpha =\frac{4}{7}$.

Po rozwiązaniu wszystkich zadań uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki. Nauczyciel ocenia ich prace, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:
Wykorzystując dane z rysunku poniżej, oblicz wartość wyrażenia $\frac{cos\alpha +sin\alpha }{sin\alpha -cos\alpha }$.

[Ilustracja 3]

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie formułują wnioski do zapamiętania.

- W trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α do długości przeciwprostokątnej nazywamy sinusem kąta ostrego α. Oznaczamy go sin α.

- W trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α do długości przeciwprostokątnej nazywamy cosinusem kąta ostrego α. Oznaczamy go cos α.

- Wraz ze wzrostem miary kąta ostrego wzrasta wartość sinusa, a maleje wartość cosinusa.

- Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są nierówności:

0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1.

- Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są równości:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α