Temat

Najmniejsza oraz największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcje. Uczeń:

4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Wyznaczanie najmniejszej oraz największej wartości funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Efekty uczenia

Uczeń:

- wyznacza najmniejszą oraz największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym,

- wyznacza argumenty, dla których wartości największe oraz  najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.

Metody kształcenia

1. Diamentowe uszeregowanie.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie pracują w grupach. Metodą diamentowego uszeregowania porządkują znane im własności funkcji kwadratowej.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest wyznaczanie wartości największej oraz najmniejszej funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.

Dyskusja - w jakim przypadku funkcja kwadratowa osiąga wartość najmniejszą/największą i jakim wzorem możemy tę wartość określić.

Wniosek, jaki powinni sformułować uczniowie.

Funkcja kwadratowa y=axIndeks górny 2² + bx + c, gdzie a ≠ 0, x ∈ R:

- dla a > 0 osiąga wartość najmniejszą w punkcie x = $\frac{-b}{2a}$ , która wynosi $\frac{-∆}{4a}$,

[Ilustracja 1]

- dla a < 0 osiąga wartość największą w punkcie x = $\frac{-b}{2a}$ , która wynosi $\frac{-∆}{4a}$.

[Ilustracja 2]

Uczniowie pracując w grupach zastanawiają się w jaki sposób można wyznaczyć wartość największą oraz wartość najmniejszą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym. Analizują materiał zawarty w aplecie, formułują wniosek i budują odpowiedni algorytm.

Polecenie

[Geogebra aplet]

Wniosek:

Najmniejsza / największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym znajduje się na jednym z krańców tego przedziału lub w wierzchołku paraboli, będącej wykresem tej funkcji (o ile wierzchołek należy do tego przedziału).

Algorytm wyznaczania największej/najmniejszej wartości funkcji kwadratowej f(x)= axIndeks górny 2² + bx + c
w przedziale domkniętym <k, l>.

[Ilustracja 3]

Uczniowie wykorzystują opracowany schemat blokowy w zadaniach.

Polecenie

Wyznacz najmniejszą oraz największą wartość funkcji:

a) f(x) = -(x - 3)Indeks górny 2² + 4 w przedziale <-2, 3>,

b) f(x) = -3xIndeks górny 2² - 12x - 6 w przedziale <-4, 1>,

c) f(x) = 2xIndeks górny 2² + 4x + 7 w przedziale <-3, 0>.

Polecenie

Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia xIndeks górny 2² + yIndeks górny 2², gdy x + y = 4.

Polecenie

Suma długości boku trójkąta i wysokości opuszczonej na ten bok jest równa 10. Jaką długość powinien mieć bok trójkąta, aby pole tego trójkąta było największe? Oblicz to pole.

Polecenie dla chętnych

Dla jakiej wartości x funkcja f(x) =$\frac{1}{x^2-x+{\displaystyle \frac{1}{2}}}$ przyjmuje wartość największą? Wyznacz tę wartość.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie podsumowują zajęcia, formułując wniosek do zapamiętania.

Najmniejsza / największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym znajduje się na jednym z krańców tego przedziału lub w wierzchołku paraboli, będącej wykresem tej funkcji (o ile wierzchołek należy do tego przedziału).