Temat

Kąt środkowy, kąt wpisany

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

5) stosuje własności kątów wpisanych i środkowych.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.

Cele szczegółowe

1. Przeprowadzenie dowodu twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym.

2. Zastosowania twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym do rozwiązywania zadań.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- przeprowadza dowód twierdzenia o kącie środkowym,

- stosuje twierdzenie o kącie środkowym.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

Formy pracy

1. Praca grupowa.

2. Praca indywidualna.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji wspólnie udowodnią zależność między miarą kąta środkowego i miarą kąta wpisanego opartych na tym samym łuku.

Uczniowie przypominają definicje kąta środkowego i definicję kąta wpisanego.

Nauczyciel rysuje na tablicy trójkąt prostokątny wpisany w okrąg. Prosi uczniów o wskazanie kąta środkowego opartego na tym samym łuku, co kąt prosty trójkąta.

Dyskusja:

- Jaka jest w tym przypadku zależność między miarą kąta wpisanego i miarą kąta środkowego?

- Czy można pokazać, że ta zależność jest prawdziwa dla dowolnych kątów wpisanych i środkowych opartych na tym samym łuku?

Realizacja lekcji

Nauczyciel dzieli uczniów na 6 grup. Po dwie grupy zajmują się jednym z poniższych przypadków, próbując wykazać, że miara kąta $\alpha$ jest dwa razy większa niż miara kąta $\beta$. Następnie przedstawiciele grup rozpatrujących ten sam przypadek sprawdzają nawzajem swoje rozumowania, a uzgodnioną wersję prezentują na forum klasy.

[Ilustracja 1]

Polecenie
Dla utrwalenia, nauczyciel pokazuje uczniom Slideshow przedstawiający kolejne kroki dowodu dla przypadku I.

[Slideshow]

Po skończonej pracy, uczniowie formułują odpowiednie twierdzenia.

Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym.

- Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

Uczniowie indywidualnie rozwiązują zadania, które następnie są wspólnie omawiane.

Polecenie
Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Jaka jest miara kąta środkowego ASB?

Polecenie
Suma miar kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku wynosi 180°. Jaka jest miara kąta wpisanego?

Polecenie
Ostrokątny trójkąt równoramienny o podstawie AB jest wpisany w okrąg o środku S. Kąt SAB ma miarę 40°. Jaką miarę ma kąt ACB?

Polecenie
Punkty A, B, C, D leżą na okręgu i dzielą go na 4 równe łuki. Jaka jest miara kąta wpisanego ACD?

Polecenie dla chętnych:
Dany jest trójkąt ABC, w którym kąt BAC jest prosty, a miara kąta ABC wynosi 25°. Punkt E jest środkiem boku BC. Oblicz miarę kąta AEC.

Wskazówka: 
Opisz okrąg na tym trójkącie i porównaj miary odpowiednich kątów wpisanych i środkowych.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują zadania utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia formułując twierdzenie do zapamiętania.

- Kąt środkowy jest dwa razy większy niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.