Temat

Definicja logarytmu. Własności logarytmu

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

I. Liczby rzeczywiste. Uczeń

1. wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych;

9. stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Poznanie pojęcia logarytmu i jego własności.

3. Obliczanie wartości logarytmu z wykorzystaniem definicji logarytmu.

Efekty uczenia

Uczeń:

- stosuje pojęcie logarytmu i jego własności,

- oblicza wartości logarytmów na podstawie definicji.

Metody kształcenia

1. Mapa myśli.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, pracując w grupach, porządkują poznane wiadomości na temat funkcji wykładniczej. Tworzą mapy myśli. Po zakończonej pracy prezentują swoje plansze.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie definicji logarytmu oraz jego własności.

Uczniowie, pracując w dwóch  grupach, wykorzystują własności funkcji wykładniczej, do budowania intuicyjnego pojęcia logarytmu.

Polecenie dla grupy 1
Naszkicuj wykres funkcji wykładniczej $f\left(x\right)=3^x,x\in R$. Odczytaj z wykresu dokładne  wartości argumentów  dla, których wartości funkcji są równe odpowiednio $1,3,4,5,9$. Czy zawsze było to możliwe? Sformułuj wniosek.

Polecenie dla grupy 2
Naszkicuj wykres funkcji wykładniczej $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\right)}^x,x\in R$. Odczytaj z wykresu dokładne  wartości argumentów  dla, których wartości funkcji są równe odpowiednio $1,3,4,5,9$. Czy zawsze było to możliwe? Sformułuj wniosek.

Wniosek

Dokładną wartość argumentu można było odczytać tylko wtedy, gdy wartość funkcji była wymierną potęgą liczby 3 lub ($\frac{1}{3}$). W pozostałych przypadkach można podać tylko przybliżoną wartość.

Nauczyciel informuje uczniów, że w przypadkach, w których nie jest możliwe dokładne odczytanie z wykresu wartości argumentu, stosuje się działanie zwane logarytmowaniem.

Uczniowie, pracując samodzielnie, analizują POKAZ SLAJDÓW ilustrujący pojęcie  logarytmu. Formułują definicję logarytmu.

Polecenie 1
[Slideshow]

Przeanalizuj uważnie materiał zawarty w pokazie slajdów. Sformułuj definicję logarytmu. Opisz własności logarytmu wynikające z tej definicji.

Definicja

Logarytmem dodatniej liczby $c$ przy dodatniej i różnej od 1 podstawie $a$ nazywamy wykładnik $b$ potęgi, do której należy podnieść $a$, aby otrzymać $c$.

Zapisujemy: ${\log }_{a}c=b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^b=c$.

Liczbę $c$ nazywamy liczbą logarytmowaną.

Z definicji wynika, że:

1. ${\log }_a{a}^c=c$

2. $a^{{\log }_{a}c}=c$

3. ${\log }_{a}1=0$

4. ${\log }_{a}a=1$

Uczniowie, korzystając z definicji logarytmu, rozwiązują zadania.

Polecenie 2
Oblicz wartości logarytmów

1. ${\log }_{2}128$

2. ${\log }_{\sqrt{3}}3\sqrt{3}$

3. ${\log }_{2}64$

4. ${\log }_3\frac{1}{81}$

5. ${\log }_{\frac{1}{3}}\sqrt{3}$

6. ${\log }_{\frac{1}{2}}16$

7. ${\log }_{5}625$

8. ${\log }_6\sqrt{36}$

Polecenie 3
Oblicz podstawę logarytmu. Skorzystaj ze wzoru.

1. ${\log }_{a}27=-3$

2. ${\log }_a\frac{1}{64}=3$

3. ${\log }_{a}0,25=-1$

4. ${\log }_a\frac{1}{256}=2$

5. ${\log }_{a}3=\frac{1}{2}$

6. ${\log }_{a}2=\frac{1}{3}$

Polecenie 4
Oblicz wartość wyrażenia.

1. ${\log }_{2}8+{\log }_{2}16$

2. ${\log }_{4}4-{\log }_{4}64$

3. ${\log }_{6}6\sqrt{6}-{\log }_{\frac{1}{6}}36$

Polecenie 5
Wiedząc, że $m>2$, oblicz ${\log }_m\sqrt[m]{m}$.

Polecenie dla chętnych
Określ dziedzinę wyrażenia ${\log }_{\frac{1}{3}}(2x-4)$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Formułują  definicję do zapamiętania.

- Logarytmem dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać c.