Temat

Długość odcinka. Środek odcinka

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Zakres podstawowy. Uczeń:

3) oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych
i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Posługiwanie się wzorami na współrzędne środka odcinka do:

a) obliczania współrzędnych środka odcinka, gdy dane są współrzędne obu jego końców,

b) obliczania współrzędnych jednego z końców odcinka, gdy dane są współrzędne środka odcinka
i drugiego końca.

2. Obliczanie długości odcinka.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- oblicza współrzędne środka odcinka, gdy dane są współrzędne obu jego końców,
- oblicza współrzędne jednego z końców odcinka, gdy dane są współrzędne środka odcinka
i drugiego końca,
- korzysta ze wzoru na odległość między dwoma punktami.

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. Dyskusja sterowana.

Formy pracy

1. Praca grupowa.

2. Praca indywidualna.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Celem części wprowadzającej jest przypomnienie pojęć matematycznych, które będą wykorzystywane w toku lekcji:

- liczba, będąca średnią arytmetyczną dwóch liczb i jej interpretacja geometrycznej na osi liczbowej,
- obliczanie odległości między dwiema liczbami na osi liczbowej,
- twierdzenia Pitagorasa.

Nauczyciel dzieli uczniów na sześć grup 4 - 5 osobowych. Dwie grupy otrzymują kartę pracy nr 1. Kolejne dwie – kartę pracy nr 2, a ostatnie dwie – kartę pracy nr 3.

Karta pracy nr 1

Oblicz średnią arytmetyczną dwóch ocen: 2 i 5, jakie Janek otrzymał z ostatnich dwóch klasówek
z matematyki. Liczby te oraz obliczoną średnią zaznacz dokładnie na osi liczbowej. Jak jest położona uzyskana przez ciebie liczba, w stosunku do liczb 2 i 5? Wykonaj to samo ćwiczenie dla kilku par liczb, przy czym weź pod uwagę liczby dodatnie, liczby ujemne i liczby o różnych znakach. Zapisz swoje spostrzeżenia.

Karta pracy nr 2

Zaznacz dokładnie, o ile to możliwe, na osi liczbowej dwie podane liczby a i b oraz oblicz odległość na osi liczbowej między tymi liczbami. Wykonaj to ćwiczenie dla następujących par liczb:

a) a = 2 i b = 5

b) a = 7 i b = 1

c) a = $\frac{2}{3}$ i b = $\frac{1}{2}$

d) a = -2 i b = -6

Zaproponuj taki sposób obliczania odległości, który pozwoliłby obliczyć tę odległość w każdym przypadku.

Karta pracy nr 3

Przypomnij sobie twierdzenie Pitagorasa. Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta, gdy dane są długości przyprostokątnych a i b.

a) a = 12 i b = 5

b) a = 7 i b = 1

c) a = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ i b = $\frac{1}{2}$

d) a = $\sqrt{7}-1$ i b = $\sqrt{7}+1$

Zaproponuj wzór na długość przeciwprostokątnej AB trójkąta prostokątnego ABC.

Przedstawiciele trzech wylosowanych grup wykonujących ćwiczenia z różnych kart pracy przedstawiają wyniki pracy grupy. Nauczyciel uzupełnia ewentualne braki tak, żeby padły stwierdzenia:

- liczba, będąca średnią arytmetyczną dwóch liczb leży na osi liczbowej dokładnie po środku tych liczb,

- odległość na osi liczbowej między dwiema liczbami jest równa różnicy większej i mniejszej z tych liczb, czyli jest równa wartości bezwzględnej z różnicy tych liczb,

- długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równa pierwiastkowi z sumy kwadratów długości jego przyprostokątnych.

Realizacja lekcji

Uczniowie pracują indywidualnie lub w parach, korzystając z komputerów, badając zależności między współrzędnymi końców odcinka i współrzędnymi jego środka oraz sposób obliczania długości odcinka. 

[Geogebra aplet]

Polecenia do pracy z apletem Geogebry

Otwórz aplet Geogebry Środek i długość odcinka w układzie współrzędnych na płaszczyźnie.

1. Wybierz opcję „środek odcinka”. Zaobserwuj, jak zmieniają się współrzędne środka odcinka
w zależności od współrzędnych końców A i B. Zaproponuj wzory pozwalające obliczyć współrzędne środka odcinka, gdy dane są współrzędne jego końców: A = (xIndeks dolny A_A, yIndeks dolny A_A) i B = (xIndeks dolny B_B, yIndeks dolny B_B).

Po wykonaniu tego ćwiczenia uczniowie, kierowani przez nauczyciela formułują wniosek:  

- współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi odpowiednich współrzędnych jego końców.

Środek M odcinka AB, gdzie A = (xIndeks dolny A_A, yIndeks dolny A_A) i B = (xIndeks dolny B_B, yIndeks dolny B_B) ma współrzędne równe

2. Wybierz opcję „długość odcinka”. Podaj sposób obliczania długości tego odcinka. Zaproponuj wzór pozwalający obliczyć długość odcinka AB, gdzie A = (xIndeks dolny A_A, yIndeks dolny A_A) i B = (xIndeks dolny B_B, yIndeks dolny B_B).

Po wykonaniu tego ćwiczenia uczniowie, kierowani przez nauczyciela zapisują wzór na długość odcinka

Nauczyciel zadaje pytanie - czy wzór można zastosować również wtedy, gdy odcinek jest równoległy do którejś z osi układu współrzędnych, np. do osi Ox oraz jak inaczej można tę długość obliczyć?

Podsumowuje krótką listę propozycji, zapisując wzory

$\left|AB\right|=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2}$ oraz $\left|AB\right|=|x_B-x_A|$.

Jako uwagę formułuje tożsamość $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$ dla dowolnej liczby rzeczywistej a.

Uczniowie pracują indywidualnie, rozwiązując zadania.

Zadanie 1

Punkt M jest środkiem odcinka AB. Oblicz współrzędne punktu M i długość odcinka AB.

a) A = (0,1), B = (3,-3)

b) A = (2,-7), B = (-4,-1)

c) A = ($\frac{2}{13}$, $-\frac{7}{13}$), B = ($-\frac{3}{13}$, $\frac{5}{13}$)

d) A = ($\sqrt{3}+3,1-\sqrt{3}$), B = ($2-\sqrt{3},\sqrt{3}+2$)

Zadanie 2

Punkty A = (6,-3) i B = (9,6) są wierzchołkami równoległoboku ABCD, a punkt S = (3,3) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.

a) oblicz współrzędne wierzchołków C i D,

b) oblicz obwód tego równoległoboku,

c) udowodnij, że ten równoległobok jest kwadratem.

Zadanie 3

Punkty A = (1,3), B = (5,1), C = (11,5) i D = (xIndeks dolny D_D, yIndeks dolny D_D) są wierzchołkami równoległoboku ABCD. Oblicz współrzędne wierzchołka D. Wykorzystaj własność równoległoboku, która orzeka, że czworokąt jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy jego przekątne przecinają się w punkcie, który jest środkiem każdej z tych przekątnych.

Polecenie dla chętnych:

Punkt A = (-3,3) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD, punkt M = (4,3) jest środkiem boku BC,
a punkt N = (5,6) – środkiem boku CD tego równoległoboku. Oblicz współrzędne wierzchołków B, C
i D.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują zadanie utrwalające i podsumowują lekcję, formułując najważniejsze informacje do zapamiętania:

- współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi odpowiednich współrzędnych jego końców. Jeśli M – środek odcinka AB, gdzie A = (xIndeks dolny A_A, yIndeks dolny A_A) i B = (xIndeks dolny B_B, yIndeks dolny B_B) to

- długość odcinka AB można obliczyć ze wzoru

$\left|AB\right|=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$, gdzie $A=(x_A,y_A)$ i $B=(x_B,y_B)$.