Temat

Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

III. Równania i nierówności. Uczeń:

6) rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x)=0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Zapisywanie równań trzeciego stopnia w postaci iloczynu.

3. Rozwiązywanie równań zapisanych w postaci iloczynowej.

Efekty uczenia

Uczeń:

- zapisuje równania trzeciego stopnia w postaci iloczynu,

- rozwiązuje równania trzeciego stopnia zapisane w postaci iloczynowej.

Metody kształcenia

1. Diamentowe uszeregowanie.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, pracując w grupach, metodą  diamentowego uszeregowania porządkują najważniejsze wiadomości na temat równań i sposobów ich rozwiązywania. W szczególności przypominają metodę równań równoważnych i metodę analizy starożytnych. Po skończonej pracy prezentują swoje plansze. Nauczyciel wyjaśnia wątpliwości.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć będzie rozwiązywanie równań trzeciego stopnia zapisanych w postaci iloczynowej.

Uczniowie, wykorzystując utworzone plansze i analogię do znanych rodzajów równań, definiują równanie stopnia trzeciego.

Definicja

Równaniem stopnia trzeciego nazywamy równanie, które można przekształcić równoważnie do postaci $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$, gdzie $a\ne 0$.

Uczniowie korzystają z komputerów. Analizują aplet, zwracają uwagę na liczbę pierwiastków równania stopnia trzeciego. Formułują wniosek.

Geogebra – wykresy funkcji $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ w zależności od wartości współczynników liczbowych.

[Geogebra aplet]

Wniosek:

Każde równanie stopnia trzeciego o współczynnikach rzeczywistych ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Korzystając z przypomnianych i poznanych wiadomości, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadania.

Polecenie

Rozwiąż równania:
a) $x^3+125=0$ ,
b) $3x^3+192=0$.

Polecenie

Rozwiąż równanie:
a) $\left(4-x\right)\left(x+5\right)\left(2x-3\right)=0$,
b) $2x^3-4x^2-5x+10=0$,
c) $x^3-4x=7x^2-28$.

Polecenie

Jakie związki zachodzą między współczynnikami a, b, c, d równania
$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$, jeżeli liczby 1 i -1 są pierwiastkami tego równania?

Polecenie

Sprawdź, która z liczb -3, -1, 1 spełnia równanie $x^3+8x^2+17x+6=0$.

Polecenie

Znajdź liczbę a, wiedząc, że liczba 3 jest pierwiastkiem równania $x^3+a{x}^2-5x+6=0$.

Dyskusja – w jaki sposób rozwiązać najprościej równanie stopnia trzeciego?
Uczniowie ustalają, że najprostszą metodą jest rozłożenie równania na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. Korzystając z tego sposobu rozwiązują samodzielnie zadania.

Polecenie

Podaj największą z liczb będących pierwiastkami równania:
a) $\left(x-4\right)\left(x+10\right)\left(x-2\right)=0$,
b) $x^3+49x=0$,
c) $x^3+2x^2-16x-32=0$.

Polecenie

Dla jakich wartości liczby $p$, $(p\in R)$ równanie $(x-3)[x^2-2(2p+1)x+(p+2{)}^2]=0$ ma dwa różne rozwiązania.

Polecenie dla chętnych

Długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka wyrażają się liczbami naturalnymi i są równe (x+1), x, (x‑1). Objętość prostopadłościanu jest równa 120. Znajdź sumę długości krawędzi tego prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka.

Uczniowie przedstawiają efekty swojej pracy, konfrontują wyniki. Nauczyciel wyjaśnia wątpliwości i ocenia pracę uczniów.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające. Wspólnie podsumowują zajęcia i formułują wnioski do zapamiętania.

Równaniem stopnia trzeciego nazywamy każde równanie, które można przekształcić równoważnie do postaci $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$, gdzie $a\ne 0$.

Każde równanie stopnia trzeciego o współczynnikach rzeczywistych ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.