Równania stopnia trzeciego w postaci iloczynu

Learning objectives

You will get to know the method of writing cubic equations in the factored form.

You will get to know the method of solving equations written in the factored form.

Learning effect

• You will learn how to write cubic equations in the factored form.

• You will learn how to solve equations written in the factored form.

Put the most important information about equations and techniques of solving them in order. In particular, recollect the equivalent equations method and the ancients’ method of analysis (analisis antiquorum).

The aim of the class will be solving cubic equationscubic equationcubic equations written in the factored form.

The teacher informs the students that the aim of the class will be solving cubic equationscubic equationcubic equations written in the factored form.

Find the definition of the cubic equationcubic equationcubic equation in any available sources.

Analyse the applet. Pay special attention to the number of roots of the cubic equationcubic equationcubic equation. Formulate a conclusion.

Geogebra – graphs of the function $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ depending on the value of the coefficients.

RuWdKb4s0qYMT1

Aplet geogebry - Wykresy funkcji wielomianowej trzeciego stopnia. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.

Aplet geogebry - Wykresy funkcji wielomianowej trzeciego stopnia. Poniżej znajduje się galeria będąca wersją alternatywną dla aplikacji.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D13WLeG0j

R1b94MhBZKSGW1

Po lewej stronie rysunku znajduje się układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest literą x. Na osi poziomej zaznaczone są liczby: minus dziesięć, minus osiem, minus sześć, minus cztery, minus dwa, zero , dwa, cztery, sześć, osiem, dziesięć. Oś pionowa oznaczona jest literą y. Na osi pionowej zaznaczone są liczby: minus siedem, minus sześć, minus pięć, minus cztery, minus trzy, minus dwa, minus jeden, zero, jeden, dwa, trzy, cztery. W układzie współrzędnych narysowany jest wykres funkcji. Krzywa, będąca wykresem funkcji znajduje się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych i przecina oś x w jednym punkcie. Jest to początek układu współrzędnych. Po prawej stronie rysunku znajduje się wzór ogólny funkcji, f, nawias zwykły, w nawiasie x, zamknąć nawias, równa się a pomnożone przez x do potęgi trzeciej dodać b pomnożone przez x do kwadratu dodać c pomnożone przez x dodać d. Poniżej zapis a równa się zero, kropka pięć, b równa się zero, c równa się zero, d równa się zero.

R1ChSahV0HrkD1

Po lewej stronie rysunku znajduje się układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest literą x. Na osi poziomej zaznaczone są liczby: minus dziesięć, minus osiem, minus sześć, minus cztery, minus dwa, zero , dwa, cztery, sześć, osiem, dziesięć. Oś pionowa oznaczona jest literą y. Na osi pionowej zaznaczone są liczby: minus siedem, minus sześć, minus pięć, minus cztery, minus trzy, minus dwa, minus jeden, zero, jeden, dwa, trzy, cztery. W układzie współrzędnych narysowany jest wykres funkcji. Krzywa, będąca wykresem funkcji, przecina oś x w trzech punktach. Pierwsze współrzędne tych punktów są równe odpowiednio minus cztery, minus jeden i jeden. Funkcja posiada maksimum lokalne w drugiej ćwiartce oraz minimum lokalne w czwartej ćwiartce. Po prawej stronie rysunku znajduje się wzór ogólny funkcji, f, nawias zwykły, w nawiasie x, zamknąć nawias, równa się a pomnożone przez x do potęgi trzeciej dodać b pomnożone przez x do kwadratu dodać c pomnożone przez x dodać d. Poniżej zapis a równa się zero, kropka pięć, b równa się dwa, c równa się minus zero, kropka pięć, d równa się minus dwa.

R1UHTe4K05Wul1

Po lewej stronie rysunku znajduje się układ współrzędnych. Oś pozioma oznaczona jest literą x. Na osi poziomej zaznaczone są liczby: minus dziesięć, minus osiem, minus sześć, minus cztery, minus dwa, zero , dwa, cztery, sześć, osiem, dziesięć. Oś pionowa oznaczona jest literą y. Na osi pionowej zaznaczone są liczby: minus siedem, minus sześć, minus pięć, minus cztery, minus trzy, minus dwa, minus jeden, zero, jeden, dwa, trzy, cztery. W układzie współrzędnych narysowany jest wykres funkcji. Krzywa, będąca wykresem funkcji znajduje się w pierwszej, trzeciej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych i przecina oś x w jednym punkcie, który znajduje się w dodatniej części osi x. Funkcja posiada maksimum lokalne w trzeciej ćwiartce oraz minimum lokalne w czwartej ćwiartce. Po prawej stronie rysunku znajduje się wzór ogólny funkcji, f, nawias zwykły, w nawiasie x, zamknąć nawias, równa się a pomnożone przez x do potęgi trzeciej dodać b pomnożone przez x do kwadratu dodać c pomnożone przez x dodać d. Poniżej zapis a równa się cztery, kropka pięć, b równa się minus cztery, c równa się minus cztery, kropka pięć, d równa się dwa.

The conclusion
Every cubic equationcubic equationcubic equation with real coefficients has at least one real root.

Using the information, solve the tasks.

Think about what is the simplest method of solving the cubic equationcubic equationcubic equation? Notice that the simplest method is factorizing the equationequationequation to the maximum of the second degree.

Use this method to solve the tasks.

Having finished all the tasks, do the consolidation tasks. Formulate the conclusions to be remembered.

• The cubic equationcubic equationcubic equation is the equationequationequation that can be transformed equivalently to the form $a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$, where $a\ne 0$.

• Every cubic equationcubic equationcubic equation with real coefficients has at least one real root.

Exercises

Glossary

Keywords

equationequationequation

cubic equationcubic equationcubic equation

roots of the equationroots of the equationroots of the equation

number of roots of the equationnumber of roots of the equationnumber of roots of the equation

factorizationfactorizationfactorization