Temat

Monotoniczność funkcji

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcje. Uczeń:

4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Cele szczegółowe

1. Wyznaczanie przedziałów monotoniczności funkcji.

2. Budowanie funkcji monotonicznych.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- wyznacza przedziały monotoniczność funkcji,

- buduje funkcje monotoniczne.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą wyznaczać przedziały monotoniczności funkcji oraz rozpoznawać i budować funkcje monotoniczne.

Uczniowie przypominają własności funkcji monotonicznej przedziałami.

Realizacja lekcji

Polecenie
Uczniowie pracują samodzielnie, korzystając z komputera. Ich zadaniem jest określanie maksymalnych przedziałów, w których dana funkcja jest rosnąca, malejąca lub stała.

[Geogebra aplet]

Polecenie
Rysunek przedstawia wykres funkcji g.

Określ maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji.

[Ilustracja 1]

Dyskusja – jaką funkcję nazywamy nierosnącą lub niemalejącą?

Uczniowie podają przykłady wykresów takich funkcji.

Wspólnie ustalają definicje.

Definicja funkcji niemalejącej
- Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉.
Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 1₁, xIndeks dolny 2₂ ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 1  Indeks dolny koniec₁ < xIndeks dolny 2₂ spełniony jest warunek
f(xIndeks dolny 1₁) ≤ f(xIndeks dolny 2₂)
to mówimy, że funkcja f jest niemalejąca w przedziale 〈a; b〉.

Definicja funkcji nierosnącej
- Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉.
Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 1₁, xIndeks dolny 2₂ ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 1  Indeks dolny koniec₁ < xIndeks dolny 2₂ spełniony jest warunek
f(xIndeks dolny 1₁) ≥ f(xIndeks dolny 2₂)
to mówimy, że funkcja f jest nierosnąca w przedziale 〈a; b〉.

Uczniowie wykorzystują zdobyte informacje w zadaniach.

Polecenie
Narysuj trzy dowolne wykresy funkcji niemalejących, określonych dla x ∈ 〈-5; 5〉.

Polecenie
Narysuj trzy dowolne wykresy funkcji nierosnących, określonych dla x ∈ (2; 8).

Polecenie
Korzystając z wykresu funkcji p podaj:

[Ilustracja 2]

1. Maksymalny przedział, w którym funkcja jest rosnąca.

2. Maksymalny przedział, w którym funkcja jest nierosnąca.

3. Maksymalny przedział, w którym funkcja jest malejąca.

4. Maksymalny przedział, w którym funkcja jest niemalejąca.

Polecenie dla chętnych:
Narysuj wykres funkcji f(x) = (x - 2)Indeks górny 2² i określ monotoniczność funkcji f.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wiadomości do zapamiętania.

Definicja funkcji niemalejącej
- Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉.
Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 1₁, xIndeks dolny 2₂ ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 1  Indeks dolny koniec₁ < xIndeks dolny 2₂ spełniony jest warunek
f(xIndeks dolny 1₁) ≤ f(xIndeks dolny 2₂)
to mówimy, że funkcja f jest niemalejąca w przedziale 〈a; b〉.

Definicja funkcji nierosnącej
- Niech f będzie funkcją określoną w przedziale 〈a; b〉.
Jeżeli dla dowolnych xIndeks dolny 1₁, xIndeks dolny 2₂ ∈ 〈a; b〉 takich, że xIndeks dolny 1  Indeks dolny koniec₁ < xIndeks dolny 2₂ spełniony jest warunek
f(xIndeks dolny 1₁) ≥ f(xIndeks dolny 2₂)
to mówimy, że funkcja f jest nierosnąca w przedziale 〈a; b〉.