Temat

Suma wyrazów ciągu geometrycznego

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VI. Ciągi. Uczeń:

1) oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym,

6) stosuje wzór na n‑ty wyraz i n sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Poznanie wzoru na sumę  n początkowych  wyrazów ciągu geometrycznego.

3. Wykorzystanie wzoru na sumę  n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Efekty uczenia

Uczeń:

- poznaje wzór na sumę n  początkowych  wyrazów ciągu geometrycznego,

- wykorzystuje wzór na sumę n początkowych  wyrazów ciągu geometrycznego.

Metody kształcenia

1. Konkurs zadaniowy.

2. Analiza sytuacyjna.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie biorą udział w indywidualnym konkursie zadaniowym. Pierwszych 3 uczniów, którzy poprawnie rozwiążą zadania, otrzymują piątki.

Zadania konkursowe.

Polecenie

Oblicz pięć początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (aIndeks dolny n_n), w którym aIndeks dolny 1₁ = 2, q = 3.

Odp.: aIndeks dolny 1₁= 2, aIndeks dolny 2₂ = 6, aIndeks dolny 3₃ = 18, aIndeks dolny 4₄ = 54, aIndeks dolny 5₅ = 162.

Polecenie

Wyznacz ciąg geometryczny (aIndeks dolny n_n) wiedząc, że aIndeks dolny 9₉ = 3, aIndeks dolny 4₄ = - 3.

Odp.: aIndeks dolny 1₁= 3, q = ( - 1).

Polecenie

Wyznacz taką dodatnią liczbę x, aby liczby 10, x, 2,5 tworzyły ciąg geometryczny.

Odp.: x = 5.

Nauczyciel podsumowuje wyniki konkursu. Wyjaśnia wątpliwości.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć będzie wyznaczenie wzoru na obliczanie sumy n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (aIndeks dolny n_n).

Uczniowie samodzielnie analizują SLIDESHOW przedstawiającą sposób wyznaczania wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Formułują odpowiedni wniosek.

[SLIDESHOW]

Wniosek

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego ($a_n$) o ilorazie $q\ne 1$ wyraża się wzorem.

$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$

Jeżeli $q=1$, to $S_n=n·a_1$.

Uczniowie, korzystając z poznanego wzoru, rozwiązują zadania.

Polecenie

Suma ośmiu wyrazów ciągu geometrycznego (aIndeks dolny n_n) równa się 21675. Wiedząc, że iloraz q jest równy 2, wyznacz wyraz pierwszy aIndeks dolny 1₁.

Odp.: aIndeks dolny 1₁ = 85.

Polecenie

Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego skończonego (aIndeks dolny n_n) jest równa 1000. Pierwszym wyrazem tego ciągu jest 25, a iloraz równa się 3. Z ilu wyrazów składa się ten ciąg?

Odp.: n = 4.

Polecenie

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (aIndeks dolny n_n) o ilorazie q = $\sqrt{5}$ jest równy $\sqrt{5}$ - 1. Ile początkowych wyrazów należy dodać, aby otrzymać 124?

Odp.: n = 6.

Polecenie

Oblicz pierwszy wyraz ciągu geometrycznego (aIndeks dolny n_n) o ilorazie q = 3, jeśli suma sześciu początkowych wyrazów jest równa 91.

Odp.: aIndeks dolny 1₁= $\frac{1}{4}$.

Polecenie dla chętnych

Pierwszy odcinek łamanej ma długość 80 cm a każdy następny jest 2 razy krótszy od poprzedniego. Z ilu odcinków składa się łamana, jeśli ma ona długość 158,75 cm?

Odp.: n = 7.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania.

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego ($a_n$) o ilorazie $q\ne 1$ wyraża się wzorem.

$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$

Jeżeli $q=1$, to $S_n=n·a_1$.