Temat

Kąty przyległe, kąty wierzchołkowe

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

12) przeprowadza dowody geometryczne.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.

Cele szczegółowe

1. Zastosowanie własności kątów przyległych do rozwiązywania zadań, także zadań na dowodzenie.

2. Zastosowanie własności kątów wierzchołkowych do rozwiązywania zadań, także zadań na dowodzenie.

Efekty uczenia

Uczeń:

- stosuje własności kątów przyległych do rozwiązywania zadań, także zadań na dowodzenie,

- stosuje własności kątów wierzchołkowych do rozwiązywania zadań, także zadań na dowodzenie.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą wykorzystywać własności kątów przyległych i wierzchołkowych do rozwiązywania zadań geometrycznych, w tym zadań na dowodzenie.

Uczniowie przypominają definicję i własności kątów przyległych i kątów wierzchołkowych.

Kąty przyległe to dwa kąty, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona dopełniają się do prostej.

Kąty wierzchołkowe to dwa kąty, które mają wspólny wierzchołek i przedłużeniem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.

Suma miar kątów przyległych jest równa 180°.

Miary kątów wierzchołkowych są równe.

Uwaga: W języku angielskim używa się dwóch terminów, które podobnie są tłumaczone na język polski. Supplementary angles to kąty przyległe. Adjacent angles to kąty przylegające (sąsiadujące), którego to terminu nie używa się w polskiej terminologii matematycznej. Kąty przyległe to kąty o wspólnym jednym i tylko jednym ramieniu. Suma kątów przyległych to 180°, suma miar kątów przylegających jest równa mierze kąta wyznaczonego przez pozostałe ramiona. Zatem kąty przyległe (supplementary) to szczególny przypadek kątów przylegających (adjacent).

Realizacja lekcji

Uczniowie pracują w parach, korzystając z komputerów, doskonalą umiejętność obliczania miar kątów, z wykorzystaniem własności kątów wierzchołkowych i przyległych.

Polecenie
Otwórz Aplet geogebry - Kąty wierzchołkowe i kąty przyległe. Wykonaj kolejno ćwiczenia. Powtórz je kilka razy, tak by rozwiązywać je bezbłędnie.

[Geogebra aplet]

Uczniowie pracują w grupach, przeprowadzając dowody geometryczne wykorzystujące własności kątów przyległych i wierzchołkowych.

Polecenie - Grupa 1
Korzystając jedynie z własności kątów przyległych wykaż, że miary kątów wierzchołkowych są równe.

Polecenie - Grupa 2
Pamiętając, że miara kątów trójkąta jest równa 180°, wykaż, że dla kątów przedstawionych na rysunku, zachodzi równość $\gamma =\alpha +\beta$.

[Ilustracja 1]

Polecenie - Grupa 3
Wykaż, że kąty przedstawione na rysunku spełniają warunek $\delta =\beta +\gamma .$

[Ilustracja 2]

Polecenie - Grupa 4
Korzystając z rysunku wykaż, że jeśli $\alpha =\beta$ to $\gamma +\delta ={180}^{\circ }.$

[Ilustracja 3]

Grupy prezentują przygotowane dowody twierdzeń. Nauczyciel zwraca uwagę na poprawność dowodu i poprawność zapisu dowodu.

Polecenie dla chętnych:
Udowodnij, że kąty przedstawione na rysunku spełniają warunek $\delta =\alpha +\beta +\gamma$.

Wskazówka: 
Przedłuż odcinek CD do przecięcia z bokiem AB i oznacz punkt przecięcia jako E.

[Ilustracja 4]

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie podsumowują zajęcia, formułując najważniejsze informacje do zapamiętania.

- Suma miar kątów przyległych jest równa 180°.

- Miary kątów wierzchołkowych są równe.