Temat

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Własności prawdopodobieństwa. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń losowych

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zakres podstawowy. Uczeń:

1) oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych.

Cele szczegółowe

1. Poznanie pojęć związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa.

2. Poznanie własności prawdopodobieństwa.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- poznaje pojęcia związane z obliczaniem prawdopodobieństwa,

- poznaje własności prawdopodobieństwa.

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. Pytanie do eksperta.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Sześciu uczniów tworzy trzy grupy eksperckie i przygotowuje przed lekcją informacje na jeden temat, wybrany z poniższych.

I. Doświadczenia losowe, zdarzenie elementarne, przestrzeń zdarzeń elementarnych, działania na zdarzeniach.
II. Określenie prawdopodobieństwa.
III. Własności prawdopodobieństwa.
IV. Prawdopodobieństwo klasyczne.

Realizacja lekcji

Uczniowie – eksperci kolejno prezentują przygotowane przez siebie informacje. Po prezentacji odpowiadają na pytania pozostałych uczniów i wyjaśniają wątpliwości.

Informacje, które wraz z przykładami, powinny znaleźć się w prezentacjach grup eksperckich:

I GRUPA EKSPERTÓW:

- Doświadczenia losowe – powtarzalny eksperyment, którego wyniku nie jesteśmy w stanie przewidzieć.
- Zdarzenie elementarne – wynik doświadczenia losowego.
- Przestrzeń zdarzeń elementarnych – zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, oznaczamy literą Ω (omega).
- Zdarzenie przeciwne do zdarzenia A - zdarzenie A’, któremu sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne, które nie sprzyjają zdarzeniu A.

II GRUPA EKSPERTÓW:

- Prawdopodobieństwem określonym na skończonej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω nazywamy taką funkcję P, która każdemu zdarzeniu A, A ⊂ Ω, przyporządkowuje liczbę rzeczywistą P(A) w taki sposób, że:

(A1) P(A) ≥ 0,
(A2) P(Ω) = 1,
(A3)    jeśli A, B ⊂ Ω i A ∩ B = ∅, to P(A ∪ B) = P(A) + P(B).  

- Para (Ω, P) – przestrzeń probabilistyczna.

III GRUPA EKSPERTÓW:

Własności prawdopodobieństwa:

- P(∅) = 0,
- jeśli A ⊂ B, to P(A) ≤ P(B),
- P(A) ≤ 1,
- P(A') = 1 - P(A),
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B),
- jeśli zdarzenia AIndeks dolny 1₁, AIndeks dolny 2₂, ..., AIndeks dolny n_n ⊂ Ω wykluczają się parami to P(AIndeks dolny 1₁ ∪ AIndeks dolny 2₂ ∪ ... ∪ AIndeks dolny n_n) = P(AIndeks dolny 1₁) + P(AIndeks dolny 2₂) + ... P(AIndeks dolny n_n).

IV GRUPA EKSPERTÓW:

- Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Jeśli przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, natomiast $A$ jest dowolnym zdarzeniem w tej przestrzeni, to:

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}$.

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest zapoznanie się z ilustracją interaktywną, opisującą w jaki sposób można obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia.

Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na tym, że przy rzucie symetryczną sześcienną kostką i symetryczną monetą otrzymujemy parzystą liczbę oczek i orła.

[Ilustracja interaktywna]

Rzucając kostką i monetą otrzymujemy zbiór zdarzeń elementarnych
Ω = {O,1, O,2, O,3, O,4, O,5, O,6, R,1, R,2, R,3, R,4, R,5, R,6}
|Ω|= 12

A - zdarzenie A, polegające na tym, że przy rzucie kostką i monetą otrzymujemy orła i parzystą liczbę oczek
|A|=3

Prawdopodobieństwo zdarzenia A: $P\left(A\right)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=0,25$
Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 0,25.

Nauczyciel dzieli uczniów na grupy. Każda z grup zadaniowych, rozwiązuje przygotowane przez nauczyciela zadania. Eksperci wspierają uczniów, wyjaśniają wątpliwości. Nauczyciel nadzoruje pracę grup.

Polecenie 1

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą.

a) Wypisz elementy przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω.

b) Wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom A i B, gdy:

- A - zdarzenie polegające na tym, że wyrzucono co najmniej jednego orła,
- B - zdarzenie polegające na tym, że wyrzucono trzy razy orła lub trzy razy reszkę.

Podaj liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniom A i B.

Polecenie 2

W pewnym doświadczeniu zbiorem zdarzeń elementarnych jest:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniom A, B i C jest określony następująco:

A = { x: x ϵ Ω ʌ x ≤ 4},

B = { x: x ϵ Ω ʌ 3 ≤ x ≤ 5},

C = { x: x ϵ Ω ʌ 4 ≤ x ≤ 8}.

Wypisz zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom:

A, B, C, A ∪ B, A ∩ C, C’.

Polecenie 3

Z liter słowa PRAWDOPODOBIEŃSTWO wybrano losowo jedną literę. Oblicz prawdopodobieństwo, że będzie to litera P lub O.

Polecenie 4

Wiedząc, że $\frac{P\left(A\right)}{P(A\text{'})}=5$ , oblicz $P\left(A\right)$ i $P\left(A\text{'}\right)$.

Nauczyciel ocenia pracę uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych:

Oblicz P(A ∪ B) oraz P(A’ ∩ B’), wiedząc, że:

Polecenie dla chętnych

Oblicz P(A ∪ B) oraz P(A’ ∩ B’), wiedząc, że:

- A ⊂ Ω i B ⊂ Ω są zdarzeniami wykluczającymi się,
- P(A') = $\frac{{\displaystyle 2}}{3}$,
- P(B') = $\frac{{\displaystyle 1}}{2}$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wiadomości do zapamiętania.

- Doświadczenia losowe – powtarzalny eksperyment, którego wyniku nie jesteśmy w stanie przewidzieć.
- Zdarzenie elementarne – wynik doświadczenia losowego.
- Przestrzeń zdarzeń elementarnych – zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, oznaczamy literą Ω (omega).
- Zdarzenie przeciwne do zdarzenia A - zdarzenie A’, któremu sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne, które nie sprzyjają zdarzeniu A
- Prawdopodobieństwem określonym na skończonej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω nazywamy taką funkcję P, która każdemu zdarzeniu A, A ⊂ Ω, przyporządkowuje liczbę rzeczywistą P(A) w taki sposób, że:

(A1) P(A) ≥ 0,
(A2) P(Ω) = 1,
(A3)      jeśli A, B ⊂ Ω i A ∩ B = ∅, to P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

- Jeśli przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, natomiast A jest dowolnym zdarzeniem w tej przestrzeni, to:

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}$ (klasyczna definicja prawdopodobieństwa).