Temat

Wprowadzenie do geometrii w prostokątnym układzie współrzędnych. Pole trójkąta na płaszczyźnie kartezjańskiej

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Uczeń:

3) oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Cele szczegółowe

1. Odczytywanie współrzędnych punktów kratowych zaznaczonych w układzie współrzędnych na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zaznaczanie w układzie współrzędnych punktów o danych współrzędnych.

2. Obliczanie pól trójkątów i wielokątów, których wierzchołkami są punkty kratowe.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- odczytuje, zapisuje i nazywa współrzędne punktu kratowego zaznaczonego w układzie współrzędnych na płaszczyźnie kartezjańskiej,

- zaznacza punkty kratowe o danych współrzędnych w układzie współrzędnych na płaszczyźnie kartezjańskiej,

- oblicza pole trójkąta i wielokąta, którego wierzchołkami są punkty kratowe.

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. Dyskusja sterowana.

Formy pracy

1. Praca grupowa.

2. Praca indywidualna.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że lekcja jest wprowadzeniem do geometrii analitycznej. Geometria analityczna to jeden z ważniejszych działów matematyki. Na lekcji powtórzą informacje o układzie współrzędnych i poćwiczą obliczanie pól trójkątów w układzie współrzędnych.

Uczniowie przypominają pojęcia związane z układem współrzędnych.

Następnie, pracując indywidualnie na komputerach, sprawdzają swoje umiejętności odczytywania współrzędnych punktu w układzie współrzędnych.

Realizacja lekcji

Polecenie
Otwórz Aplet geogebry: „Punkt w układzie współrzędnych”:

a) Wybierz opcję „odczytaj współrzędne punktu”. Sprawdź przy pomocy apletu, czy poprawnie odczytujesz współrzędne wygenerowanego losowo punktu. Ćwiczenie powtarzaj tak długo, aż kolejnych 5 sprawdzeń zakończy się powodzeniem.

b) Wybierz opcję „ustaw punkt”. Sprawdź przy pomocy apletu, czy poprawnie ustalasz położenie punktu, którego współrzędne zostały wygenerowane losowo. Ćwiczenie powtarzaj tak długo, aż kolejnych 5 sprawdzeń zakończy się powodzeniem.

[Geogebra aplet 1]

Po zakończonym ćwiczeniu, nauczyciel prosi kolejno kilku uczniów o wykonanie tych dwóch ćwiczeń przy całej klasie. W czasie wykonywania ćwiczenia zadaje pozostałym uczniom pytania dotyczące nazewnictwa współrzędnych punktu (odcięta, rzędna). Nauczyciel może też zmodyfikować ćwiczenie, prosząc o zaznaczenie innego punktu o tej samej odciętej, przeciwnej rzędnej, itp.

Uczniowie pracują w parach, wykonując poniższe ćwiczenie.

Polecenie
Zaznacz w układzie współrzędnych wszystkie punkty, których współrzędne spełniają podaną własność:

a) Obie współrzędne są dodatnie i ich suma jest równa 6.

b) Obie współrzędne są liczbami całkowitymi i ich iloczyn jest równy 12.

c) Obie współrzędne są liczbami całkowitymi i suma ich kwadratów jest równa 13.

Po ukończonym ćwiczeniu nauczyciel inspiruje dyskusję, w której prosi uczniów o zrelacjonowanie sposobów rozwiązania poszczególnych punktów ćwiczenia. Koryguje ewentualne błędy lub luki w rozumowaniach.

Uczniowie pracują indywidualnie, rozwiązując zadania.

Polecenie
Współrzędne wierzchołków trójkąta ABC to A = (-3, -1), B = (5, -1), C = (2, 5). Oblicz pole tego trójkąta.

[Ilustracja 1]

Nauczyciel obserwuje pracę uczniów i prosi o zademonstrowanie rozwiązania. Obserwuje przy tym, czy wśród uczniów byli tacy, którzy uzupełnili trójkąt $ABC$ do prostokąta $A_{BMN}$, gdzie $M=(5,5)$ i $N=(-3,5)$. Do przedstawienia rozwiązania prosi jednak ucznia, który obliczył to pole ze wzoru $P_{ABC}=\frac{1}{2}·a·h$. Rozwiązanie będzie się więc sprowadzało do zapisania: $P_{ABC}=12·8·6=24$.

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Doskonalą swoje umiejętności obliczania pól trójkątów w układzie współrzędnych.

Polecenie
Otwórz Aplet geogebry: „Pole trójkąta w układzie współrzędnych”.

[Geogebra aplet 2]

Zaznacz w układzie współrzędnych trójkąt ABC, w którym A = (-3, -1), B = (5, 1), C = (2, 5).

[Ilustracja 2]

Dla ułatwienia obliczenia pola trójkąta, możesz wybrać w aplecie opcję: „Uzupełnij trójkąt do prostokąta”.

[Ilustracja 3]

Poprawność swoich obliczeń możesz sprawdzić wybierając w aplecie opcję: „Pole trójkąta ABC jest równe”.

Zmieniaj położenie wierzchołków trójkąta i obserwuj, jak działa metoda uzupełniania do prostokąta przy różnym układzie wierzchołków.

Po zakończonej pracy uczniowie omawiają wyniki, a nauczyciel kieruje dyskusją.

Dyskusja
Myślą - Dlaczego narysowany prostokąt ułatwia obliczenia pola trójkąta? Czy każdy trójkąt można uzupełnić w ten sposób do prostokąta?

Wykorzystując uzyskane wiadomości, uczniowie rozwiązują zadania.

Polecenie
Oblicz pole trójkąta $ABC$, którego wierzchołki mają współrzędne $A=(0,0),B=(x_1,y_1),C=(x_2,y_2)$ oraz $x_1>0,x_2>0,y_1>0,y_2>0$.

Polecenie
Oblicz pole czworokąta $ABCD$, mając dane współrzędne jego wierzchołków.

a) $A=(-3,-1),B=(5,-2),C=(6,3),D=(1,5)$

b) $A=(1,-1),B=(3,-2),C=(5,5),D=(-2,4)$

c) $A=(-2,-1),B=(6,-1),C=(3,5),D=(-3,6)$

d) $A=(-3,-1),B=(7,1),C=(1,2),D=(-1,5)$

Polecenie dla chętnych:
Dany jest trójkąt $ABC$, którego wierzchołki mają współrzędne $A=(n,m),B=(n+1,m-2),C=(4n,3m)$, gdzie $n$ i $m$ to liczby całkowite dodatnie. Wykaż, że poje tego trójkąta jest równe $P_{ABC}=3n+m$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują zadania utrwalające i podsumowują lekcję.

- Przypominają użyte słownictwo: układ współrzędnych, współrzędne punktu.

- Omawiają metody obliczania pola trójkąta.

- Omawiają sposób obliczania pola wielokąta, jako sumy pól trójkątów, które powstaną przez podział wielokąta jego przekątnymi.