Temat

Wycinek koła

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

VIII. Planimetria. Uczeń:

6) stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.

Cele szczegółowe

1. Obliczanie pola wycinka koła i długości łuku okręgu.

2. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- oblicza pole wycinka koła i długość łuku okręgu.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Burza mózgów.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą obliczać pole wycinka koła oraz długość łuku okręgu, wyznaczonego przez ten wycinek.

Realizacja lekcji

Dyskusja – który fragment koła nazwiemy wycinkiem koła?

Uczniowie formułują definicję wycinka koła.

Definicja

- Wycinkiem koła nazywamy część tego koła ograniczoną łukiem okręgu i ramionami kąta środkowego.

[Ilustracja 1]

Burza mózgów.
Uczniowie podzieleni na grupy dyskutują nad sposobem obliczenia pola wycinka koła, wyznaczonego przez dany kąt środkowy. Wspólnie zauważają, że wycinek koła stanowi taką samą cześć koła, jaką częścią kąta pełnego jest kąt środkowy wyznaczający ten wycinek.

Wniosek:

- Pole wycinka koła wyznaczonego w kole o promieniu r przez kąt środkowy o mierze $\alpha$ jest równe:

- Długość łuku $L_w$ wyznaczonego na okręgu o promieniu r przez kąt środkowy o mierze $\alpha$ jest równa:

Uczniowie obliczają pole wycinka koła oraz długość łuku okręgu o promieniu 3 wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze 60°.

Najpierw zauważają, że kąt o mierze 60° stanowi $\frac{60°}{360°}=\frac{1}{6}$ kąta pełnego.

Zatem:

Pole wycinka koła jest równe $\frac{2}{3}\mathrm{\pi }.$

Aby obliczyć długość łuku okręgu uczniowie korzystają ze wzoru:

Długość łuku okręgu jest równa $\mathrm{\pi }$.

Polecenie
Uczniowie pracują samodzielnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest obserwacja tworzenia lunuli trójkątnej, czyli obszaru w kształcie księżyca. Uczniowie porównują ze sobą pole księżyca i pole trójkąta.

[Geogebra aplet]

Na podstawie wcześniejszego opisu, uczniowie samodzielnie wykonują konstrukcję lunuli trójkątnej oraz obliczają jej pole. Następnie porównują pole księżyca z polem trójkąta prostokątnego, równoramiennego.

Uczniowie wykorzystują zdobyte informacje w zadaniach.

Polecenie
Oblicz pole wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze 45°.

Polecenie

[Ilustracja 2]

Koło środku w punkcie S i promieniu 3 podzielono na 6 jednakowych części. Oblicz pole zamalowanej części.

Polecenie
Oblicz pole koła wiedzą, że wycinek tego koła wyznaczony przez kąt środkowy o mierze 60° ma pole równe $4\pi .$

Polecenie
W okręgu o promieniu 6 cm zaznaczono łuk wyznaczony przez kąt środkowy o mierze 330°. Oblicz długość tego łuku.

Polecenie
Narysuj okrąg o promieniu 5 cm. Zamaluj łuk stanowiący $\frac{1}{3}$ długości łuku okręgu.

Polecenie dla chętnych:
Oblicz promień koła, w którym kątowi środkowemu o mierze 120° odpowiada wycinek o polu $9\pi .$

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując informacje do zapamiętania.

Informacje do zapamiętania:

- Wycinkiem koła nazywamy część tego koła ograniczoną łukiem i ramionami kąta środkowego.

- Pole wycinka koła wyznaczonego w kole o promieniu r przez kąt środkowy o mierze $\alpha$ jest równe:

- Długość łuku ${\mathrm{L}}_{\mathrm{w}}$ wyznaczonego na okręgu o promieniu r przez kąt środkowy o mierze $\alpha$ jest równa: