Temat

Pierwiastki równań wielomianowych

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

III. Równania i nierówności. Uczeń:

6) rozwiązuje równania wielomianowe postaci $W\left(x\right)=0$ dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias lub metodą grupowania.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Rozkładanie wielomianów na czynniki.

3. Rozwiązywanie równań wielomianowych zapisanych w postaci iloczynowej.

Efekty uczenia

Uczeń:

- rozkłada na czynniki wielomian;

- rozwiązuje równania wielomianowe zapisane w postaci iloczynowej.

Metody kształcenia

1. Mapy myśli.

2. Dyskusja problemowa.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca w małych grupach.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie, pracując w grupach, tworzą mapy myśli zawierające najważniejsze wiadomości na temat równań i sposobów ich rozwiązywania. W szczególności przypominają metodę równań równoważnych i metodę analizy starożytnych.

Po skończonej pracy prezentują swoje plansze.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje, że celem zajęć będzie rozwiązywanie równań wielomianowych.

Uczniowie, wykorzystując utworzone mapy myśli i analogię do znanych rodzajów równań, definiują równanie wielomianowe.

Definicja

Równaniem wielomianowym stopnia $n$ nazywamy równanie, które można przekształcić równoważnie do postaci $W\left(x\right)=0$ , gdzie $W\left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$ $(n\in N_{+})$.

Uczniowie korzystają z komputerów. Analizują aplet, zwracając uwagę na liczbę pierwiastków równania wielomianowego. Formułują wniosek.

[Aplet geogebry]

Wniosek

W zbiorze liczb rzeczywistych wielomian stopnia $n$ $(n\in N_{+})$ może mieć co najwyżej $n$ pierwiastków.

Nauczyciel informuje uczniów, że odkryta przez nich własność, nazywana jest zasadniczym twierdzeniem algebry.

Korzystając z przypomnianych i poznanych wiadomości, uczniowie samodzielnie rozwiązują zadanie.

Polecenie

Określ liczbę pierwiastków równania.

a) $3x^2\left(-2-x\right)\left(x^2-4\right){\left(x+5\right)}^2=0$

b) $2x^2\left(x^2+4\right){\left(x-7\right)}^2\left(x^3-8\right)=0$

c) $\left(x^2+6\right){\left(2x-5\right)}^2\left(x-3\right)=0$

Polecenie

Sprawdź, która z liczb $\left\{-\sqrt{3},-1,1\right\}$ jest pierwiastkiem wielomianu

$W\left(x\right)=x^3-x^2+3x-3$

Polecenie

Znajdź liczbę $a$, wiedząc, ze liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)=x^5+x^3+a{x}^2-8$.

Dyskusja - w jaki sposób rozwiązać najprościej równanie wielomianowe stopnia większego niż 2?

Uczniowie ustalają, że najprostszą metodą ( w przypadku wielomianów mających pierwiastki) jest ich rozłożenie na czynniki stopnia co najwyżej drugiego. Korzystając z tego sposobu, rozwiązują samodzielnie zadania.

Polecenie

Podaj wszystkie pierwiastki wielomianu

$W\left(x\right)=\left(3x-1\right)\left(x^2-9\right)\left(4x+2\right)$

Polecenie

Rozłóż na czynniki wielomian $W\left(x\right)=125x^4-125x^3-8x+8$.

Następnie rozwiąż równanie $W\left(x\right)=0$

Polecenie

Rozwiąż równanie.

a)  $x^4+2x^3-x-2=0$

b) $8x^4+24x^3+x+3=0$

Polecenie dla chętnych

Iloczyn kwadratu pewnej liczby i kwadratu liczby o 4 od niej większej jest równy 2025. Wyznacz te liczby.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Wspólnie podsumowują zajęcia i formułują wnioski do zapamiętania:

Równaniem wielomianowym stopnia $n$ nazywamy równanie, które można przekształcić równoważnie do postaci $W\left(x\right)=0$, gdzie $W\left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$ $(n\in N_{+})$.

W zbiorze liczb rzeczywistych wielomian stopnia $(n\in N_{+})$ może mieć co najwyżej $n$ pierwiastków.