Temat

Okrąg opisany na trójkącie

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

I. Planimetria. Uczeń:

10) wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel.

Cele szczegółowe

1. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

2. Poznanie twierdzenia o symetralnych boków trójkąta.

3. Poznanie konstrukcji i własności okręgu opisanego na trójkącie.

Efekty uczenia

Uczeń:

- poznaje twierdzenie o symetralnych boków trójkąta,

- poznaje konstrukcję i własności okręgu opisanego na trójkącie.

Metody kształcenia

1. Otwarte ucho.

2. Dyskusja problemowa.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie metodą „otwarte ucho” przypominają poznane dotychczas wiadomości na temat symetralnej odcinka i jej własności.

Realizacja lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że celem zajęć jest poznanie konstrukcji okręgu opisanego na trójkącie.

Dyskusja - co to znaczy, że okrąg jest opisany na wielokącie? Jaką własność posiada środek takiego okręgu? Uczniowie stawiają hipotezy i sprawdzają je wykonując odpowiednie rysunki. Formułują wnioski.

Wnioski:

- Mówimy, że okrąg jest opisany na wielokącie, jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą na okręgu.

- Środek okręgu opisanego na wielokącie znajduje się w tej samej odległości od każdego z wierzchołków wielokąta.

Nauczyciel informuje uczniów, że środek okręgu opisanego na wielokącie jest punktem przecięcia symetralnych boków tego wielokąta.

Uczniowie, pracując w grupach, sprawdzają, czy w trójkącie istnieje punkt przecięcia symetralnych boków.

Polecenie dla grupy pierwszej
Narysuj dowolny trójkąt ostrokątny. Wykreśl symetralne boków tego trójkąta. Co zauważasz? Zanotuj odpowiedni wniosek.

Polecenie dla grupy drugiej
Narysuj dowolny trójkąt rozwartokątny. Wykreśl symetralne boków tego trójkąta. Co zauważasz? Zanotuj odpowiedni wniosek.

Polecenie dla grupy trzeciej
Narysuj dowolny trójkąt prostokątny. Wykreśl symetralne boków tego trójkąta. Co zauważasz? Zanotuj odpowiedni wniosek.

Po wykonaniu zadania, przedstawiciele grup przedstawiają wyniki. Wspólnie formułują swoje spostrzeżenia.

Wniosek, który powinni sformułować:

- Symetralne boków dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

- Punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

Polecenie
Uczniowie, pracując samodzielnie, analizują aplet ilustrujący sposób wyznaczania środka okręgu opisanego na trójkącie. Odpowiadają na pytanie: jakie jest położenie środka okręgu w danym typie trójkątów? Stawiają hipotezy. Formułują wniosek.

[Geogebra aplet]

Wniosek:

- Środek okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym znajduje się wewnątrz tego trójkąta.

- Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej.

- Środek okręgu opisanego na trójkącie rozwartokątnym znajduje się na zewnątrz tego trójkąta.

Uczniowie, korzystając z nowych wiadomości, rozwiązują zadania.

Polecenie
Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, którego bok ma długość 9 cm.
Odp.: $r=3\sqrt{3}$ cm.

Polecenie
Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątne mają długości 25 cm i 15 cm.
Odp.: $r=\frac{5\sqrt{34}}{2}$ cm.

Polecenie
W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 50 cm, a wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną jest równa 40 cm. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.
Odp.: $r=41\frac{2}{3}$ cm.

Polecenie
Oblicz pole koła opisanego na trójkącie równobocznym, którego pole jest równe $25\sqrt{3}$ cm.
Odp.: $P=\frac{100}{3}·\mathrm{\pi }$ cmIndeks górny 2².

Po rozwiązaniu wszystkich zadań, uczniowie przedstawiają uzyskane wyniki.

Nauczyciel ocenia ich prace, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych
W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie jest równy $\gamma$. Wykaż, że symetralne ramion tego trójkąta tworzą kąt, którego miara jest równa $2·\gamma$.

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wnioski do zapamiętania:

- Mówimy, że okrąg jest opisany na wielokącie, jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą na okręgu.

- Środek okręgu opisanego na wielokącie znajduje się w tej samej odległości od każdego z wierzchołków wielokąta.

- Symetralne boków dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

- Środek okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym znajduje się wewnątrz tego trójkąta.

- Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej.

- Środek okręgu opisanego na trójkącie rozwartokątnym znajduje się na zewnątrz tego trójkąta.