Temat

Potęga o wykładniku naturalnym

Etap edukacyjny

Drugi

Podstawa programowa

I. Potęgi o podstawach wymiernych. Uczeń:

1) zapisuje iloczyn jednakowych czynników w postaci potęgi o wykładniku całkowitym dodatnim.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Używanie prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretowanie pojęć matematycznych i operowanie obiektami matematycznymi.

Cele szczegółowe

1. Obliczanie potęg o wykładnikach naturalnych na podstawie definicji.

2. Określanie znaku potęgi.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- oblicza potęgi o wykładnikach naturalnych na podstawie definicji,

- określa znak potęgi.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Łańcuch skojarzeń.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Nauczyciel informuje uczniów, że na lekcji będą obliczać wartości potęg o wykładnikach naturalnych.

Uczniowie podają przykłady kwadratów i sześcianów liczb jednocyfrowych i obliczają ich wartości. Interpretują kwadrat danej liczby jako iloczyn dwóch jednakowych czynników, a sześcian jako iloczyn trzech jednakowych czynników.

Realizacja lekcji

Przykład:

Uczniowie analizują rozwiązane przykłady. Zauważają, że w każdym przypadku należy pomnożyć kilka jednakowych czynników.

$12·12·12·12=20736$

$\frac{1}{2}·\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}·\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}·\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}·\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}·\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}=\frac{1}{64}$

$\frac{2}{3}·\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}·\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}·\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}·\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}·\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}·\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}=\frac{128}{2187}$

Nauczyciel komunikuje, że mnożenie jednakowych czynników, nie tylko dwóch i trzech, można zapisać w postaci potęgi.

Definicja potęgi:
Potęgą liczby a o wykładniku naturalnym (n > 1) nazywamy iloczyn n czynników, z których każdy jest równy a.

Symbolicznie zapisujemy:

Liczbę a nazywamy podstawą potęgi, liczbę n - wykładnikiem potęgi.
Ponadto przyjmujemy, że $a^0=1,$ dla $a\ne 0$.

Korzystając z definicji, uczniowie obliczają wartości potęg.

Polecenie 1

Oblicz.

a) $4^2,3^3,0^4,{10}^4,{135}^0,$

b) $(-5{)}^3,(-3{)}^0,-3^3,(-1{)}^{12},(-4{)}^2,$

c) $(\frac{1}{3}{)}^3,\frac{2}{5^2},(-\frac{1}{7}{)}^1,(-\frac{1}{2}{)}^4,\frac{-1}{-4^2}.$

Polecenie 2

Oblicz wartości potęg. Zastanów się, od czego zależy znak wyniku potęgowania.

a) $2^3,4^2,6^3,$

b) $(-5{)}^2,(-3{)}^4,(-2{)}^6,$

c) $(-3{)}^3,(-5{)}^3,(-2{)}^5.$

Uczniowie powinni zauważyć, że:

1) Jeżeli liczbę dodatnią podnosimy do potęgi o wykładniku naturalnym, to otrzymujemy liczbę dodatnią.

2) Jeżeli liczbę ujemną podnosimy do potęgi o wykładniku naturalnym parzystym, to otrzymujemy liczbę dodatnią.

3) Jeżeli liczbę ujemną podnosimy do potęgi o wykładniku naturalnym nieparzystym, to otrzymujemy liczbę ujemną.

Uczniowie wykorzystują ukształtowane umiejętności w zadaniach.

Polecenie 3

W miejsce kropek, wstaw odpowiedni znak <, >, = .

a) $3^2...2^3$

b) $1^2...(-1{)}^2$

c) $-3^3...3^3$

d) $4^3...(-4{)}^3$

e) $-1^5...(-1{)}^5$

f) $-3^2...-(-3{)}^2$

Polecenie 4

Uporządkuj liczby w kolejności od najmniejszej do największej.

$2^3,{24}^0,-2^1,(\frac{1}{2}{)}^4,(-2{)}^2,(-16{)}^1,-2,4^2,(-2,4{)}^2.$

Polecenie 5

[Geogebra aplet]

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów.

Ich zadaniem jest połączenie w pary – potęgi i jej wartości.

Polecenie dla chętnych:

Bez wykonywania obliczeń określ, czy wynik działania jest to liczbą ujemna, czy dodatnią.  

a) $(-\frac{2}{7}{)}^4·(-0,8{)}^5$

b) $-(-3,4{)}^7·{\frac{(-1)}{-3}}^3$

c) $\frac{-1^2·(-(-6{)}^3)}{-(-0,4{)}^3·(-2{)}^5}$

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wiadomości do zapamiętania.

Potęgą liczby a o wykładniku naturalnym (n > 1) nazywamy iloczyn n czynników, z których każdy jest równy a.

Symbolicznie zapisujemy:

Liczbę a nazywamy podstawą potęgi, liczbę n - wykładnikiem potęgi.
Ponadto przyjmujemy, że $a^0=1,$ dla $a\ne 0$.