Temat

Dziedzina i zbiór wartości funkcji

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

V. Funkcje

Zakres podstawowy. Uczeń:

1) określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach).

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Cele szczegółowe

1. Określanie dziedziny i zbioru wartości funkcji.

2. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- określa dziedzinę i zbiór wartości funkcji.

Metody kształcenia

1. Dyskusja.

2. Odwrócona klasa.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca zbiorowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie w domu przypominają sobie definicję funkcji oraz poszukują w dostępnych źródłach wiedzy nazw zbiorów $X$ i $Y$, występujących w definicji funkcji.

Realizacja lekcji

Praca metodą odwróconej klasy.

Wybrany przez nauczyciela uczeń prezentuje wiadomości uzyskane na temat zbiorów $X$ oraz $Y$.

Uczniowie w grupach porównują jego wypowiedź, z zebranymi przez siebie informacjami. Wspólnie formułują notatkę do zapamiętania.

Ważne:

Dana jest funkcja $f:X\to Y$.

Zbiór $X$ nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami funkcji.

Zbiór $Y$ nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Każdy element $y$ tego zbioru, który został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi $x$ ze zbioru $X$ nazywamy wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$, co zapisujemy symbolicznie $y=f\left(x\right)$.

Zbiór złożony ze wszystkich elementów, które są wartościami funkcji f dla wszystkich argumentów dziedziny, nazywamy zbiorem wartości funkcji $f$.

Uczniowie wyznaczają dziedzinę i zbiór wartości danej funkcji.

Polecenie 1

Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji opisanej grafem.

[Ilustracja 1]

Przykład rozwiązania:

Oznaczmy przez $X$ - zbiór imion uczniów oraz przez $Y$ - zbiór liczb liter występujących w danym imieniu.

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór $X$ = {Janek, Ala, Anetka, Krysia, Adam}. Jest to zbiór 5‑elementowy.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór $Y$ = {3, 4, 5, 6}. Jest to zbiór 4 - elementowy.

Uczniowie wykorzystują ukształtowane umiejętności w zadaniach.

Polecenie 2

Określ dziedzinę i zbiór wartości funkcji przedstawionej za pomocą grafu.

[Ilustracja 2]

Polecenie 3

Ustal, czy następujące przyporządkowanie określa funkcję. Jeśli tak, to podaj jej dziedzinę i zbiór wartości.

a) Każdemu uczniowi przyporządkowujemy jego imię.
b) Każdej liczbie naturalnej przyporządkowujemy liczbę do niej przeciwną.
c) Każdemu trójkątowi przyporządkowujemy sumę miar jego kątów wewnętrznych.

Polecenie 4

[Geogebra aplet]

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest określenie dziedziny i zbioru wartości funkcji, która każdemu polu kwadratu przyporządkowuje długość jego boku.

Polecenie 5

Określ zbiory $X$ i $Y$ tak, aby przyporządkowanie $f:X\to Y$ przedstawiało funkcję.

Wykorzystaj poniższe dane.

a) zbiór liczb wyrażających pole prostokąta, zbiór prostokątów,
b) zbiór uczniów w klasie, zbiór kolorów oczu uczniów w klasie,
c) zbiór numerów PESEL, zbiór osób,
d) zbiór imion dziewcząt w klasie, zbiór liczb liter występujących w danym imieniu.

Polecenie 6

Dane są zbiory A = {2, 4, 6, 8} i B = {1, 3, 5}. Narysuj graf przedstawiający funkcję, taką, że:

a) zbiór A jest jej dziedziną, a zbiór B jest zbiorem wartości,
b) zbiór B jest jej dziedziną, a zbiór A jest zbiorem wartości.

Czy w obydwu przypadkach było to możliwe?

Polecenie dla chętnych:

Odczytaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji przedstawionej za pomocą grafu.

[Ilustracja 3]

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują dodatkowe ćwiczenia.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wniosek do zapamiętania.

Dana jest funkcja $f:X\to Y$.

Zbiór $X$ nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami funkcji.

Zbiór $Y$ nazywamy przeciwdziedziną funkcji. Każdy element $y$ tego zbioru, który został przyporządkowany co najmniej jednemu argumentowi $x$ ze zbioru $X$ nazywamy wartością funkcji $f$ dla argumentu $x$, co zapisujemy symbolicznie $y=f\left(x\right)$.

Zbiór złożony ze wszystkich elementów, które są wartościami funkcji $f$ dla wszystkich argumentów dziedziny, nazywamy zbiorem wartości funkcji $f$.