Temat

Metoda podstawiania rozwiązywania układów równań – doskonalenie umiejętności

Etap edukacyjny

Trzeci

Podstawa programowa

IV. Układy równań. Zakres podstawowy. Uczeń:

1) rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych.

Czas

45 minut

Cel ogólny

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.

Cele szczegółowe

1. Doskonalenie umiejętności rozwiązywania układów równań metodą podstawiania.

2. Wykorzystywanie układów równań do rozwiązywania prostych problemów matematycznych.

3. Porozumiewanie się w języku angielskim, rozwijanie matematycznych i podstawowych kompetencji naukowo‑technicznych oraz informatycznych, kształtowanie umiejętności uczenia się.

Efekty uczenia

Uczeń:

- doskonali umiejętność rozwiązywania układów metodą podstawiania,

- wykorzystuje układy równań do rozwiązywania prostych problemów matematycznych.

Metody kształcenia

1. Analiza sytuacyjna.

2. Konkurs zadaniowy.

Formy pracy

1. Praca indywidualna.

2. Praca grupowa.

Etapy lekcji

Wprowadzenie do lekcji

Uczniowie przypominają poznaną metodę rozwiązywania układów równań - metodę podstawiania.

Realizacja lekcji

Uczniowie pracują indywidualnie, korzystając z komputerów. Ich zadaniem jest zapoznanie się z ILUSTRACJĄ INTERAKTYWNĄ, przypominającą poznaną na ostatniej lekcji metodę rozwiązywanie układów równań.

[ILUSTRACJA INTERAKTYWNA]

Po wykonanym ćwiczeniu uczniowie zapisują wnioski.

Rozwiązując układ równań metodą podstawiania postępujemy następująco:

1. Wyznaczamy x z pierwszego równania.
2. Otrzymane wyrażenie podstawiamy w drugim układzie w miejsce x.
3. Po podstawieniu, drugie równanie stało się równaniem z jedną niewiadomą y – rozwiązujemy je. Pierwsze równanie przepisujemy bez zmian.
4. Po obliczeniu wartości y, podstawiamy ją do pierwszego równania i wykonując odpowiednie działania obliczamy wartość x.
5. Otrzymujemy rozwiązanie: parę liczb, która jest rozwiązaniem układu równań.

Nauczyciel rozdaje uczniom karty pracy z przygotowanymi układami równań (zadania na kartach pogrupowane są wg rosnącego poziomu trudności).

Uczniowie biorą udział w indywidualnym konkursie zadaniowym, rozwiązując zadania z czterech  poziomów trudności.

Troje uczniów z najwyższą liczbą punktów otrzymuje oceny celujące, troje kolejnych – oceny bardzo dobre.

Polecenie 1

Rozwiąż układy równań metodą podstawiania.

Poziom 1 – każde poprawne rozwiązanie za 1 pkt.

- $\left\{\begin{array}{l}x=3\\ 2x+y=8\end{array}\right.$
- $\left\{\begin{array}{l}3x-y=5\\ -y=2\end{array}\right.$
- $\left\{\begin{array}{l}x+y=3\\ x-y=1\end{array}\right.$

Poziom 2 – każde poprawne rozwiązanie za 2 pkt.

- $\left\{\begin{array}{l}2x-y=3\\ x+y=12\end{array}\right.$
- $\left\{\begin{array}{l}5x+2y=15\\ 2x-y=4\end{array}\right.$

Poziom 3 – każde poprawne rozwiązanie za 3 pkt.

- $\left\{\begin{array}{l}5(x-2y)=12y\\ 3x+2(y-x)=10\end{array}\right.$

Poziom 4 – każde poprawne rozwiązanie za 4 pkt.

- $\left\{\begin{array}{l}\frac{2x+y}{2}-\frac{x-y}{3}=\frac{2x}{5}\\ \frac{x-2(y-x)}{4}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Nauczyciel ocenia pracę uczniów, wyjaśnia wątpliwości.

Polecenie dla chętnych
Dla jakiej liczby m układ równań nie ma rozwiązań?

Podsumowanie lekcji

Uczniowie wykonują ćwiczenia utrwalające.

Następnie wspólnie podsumowują zajęcia, formułując wiadomości do zapamiętania.

Rozwiązując układ równań metodą podstawiania postępujemy następująco:

1. Wyznaczamy x z pierwszego równania.
2. Otrzymane wyrażenie podstawiamy w drugim układzie w miejsce x.
3. Po podstawieniu, drugie równanie stało się równaniem z jedną niewiadomą y – rozwiązujemy je. Pierwsze równanie przepisujemy bez zmian.
4. Po obliczeniu wartości y, podstawiamy ją do pierwszego równania i wykonując odpowiednie działania obliczamy wartość x.
5. Otrzymujemy rozwiązanie: parę liczb, która jest rozwiązaniem układu równań.