Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego

W tym materiale poznasz definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Dowiesz się także, jakie posiadają własności. Zapoznaj się z tym materiałem przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań zawartych w materiale Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym - zadaniaD1BpghrQJObliczanie wartości funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym - zadania.

Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym1

Definicja: Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Załóżmy, że w trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę $α$ . Wprowadzimy nazwy stosunków długości boków tego trójkąta.

R1AO5X5N4xnPx1

Rysunek trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i b oraz przeciwprostokątnej długości c. Kąt ostry alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Sinusem kąta ostrego $α$ (w skrócie $\sin α$ ) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ do długości przeciwprostokątnej.
Cosinusem kąta ostrego $α$ (w skrócie $\cos α$ ) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $α$ do długości przeciwprostokątnej.
Tangensem kąta ostrego $α$ (w skrócie $tg α$ ) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta $α$ do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie $α$ .
R10rUYzxz6Pk11
Animacja prezentuje definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości a, b i przeciwprostokątnej c. Kąt alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a. Kąt 90 minus alfa leży naprzeciw przyprostokątnej b. Zmieniając długości boków trójkąta lub miarę kąta alfa, obliczamy zgodnie z definicją sinus, cosinus i tangens kąta alfa i kąta 90 minus alfa.
Animacja prezentuje definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości a, b i przeciwprostokątnej c. Kąt alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a. Kąt 90 minus alfa leży naprzeciw przyprostokątnej b. Zmieniając długości boków trójkąta lub miarę kąta alfa, obliczamy zgodnie z definicją sinus, cosinus i tangens kąta alfa i kąta 90 minus alfa.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/b/Pw3rXFwpp

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Korzystając z oznaczeń na rysunku, zapisujemy

\sin α = \frac{a}{c}

\cos α = \frac{b}{c}

tg α = \frac{a}{b}

Powyższe zależności nazywa się funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego $α$ .

Przykład 1

R9WPgtxn7Eam4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczona wartość może różnić się od wartości rzeczywistej ze względu na małą dokładność pomiarów oraz obliczeń.

R423YnZOKpXoR1

Uwaga!

Bezpośrednio z definicji wynika, że dla dowolnego kąta ostrego $a$

\sin α > 0

\cos α > 0

Ponadto, w każdym trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, zatem dla dowolnego kąta ostrego $α$

\sin α < 1

\cos α < 1

Twierdzenie: 1

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ prawdziwe są nierówności:

0 < \sin α < 1

0 < \cos α < 1

Uwaga!

Jeżeli jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę $α$ , to drugi kąt ostry w tym trójkącie ma miarę $90 ° - α$ . Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych, zapisujemy