Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

W tym materiale poznasz definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Dowiesz się także, jakie posiadają własności. Zapoznaj się z tym materiałem przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań zawartych w materiale Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym - zadaniaD1BpghrQJObliczanie wartości funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym - zadania.

Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym1
Definicja: Sinus, cosinus i tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

Załóżmy, że w trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę α. Wprowadzimy nazwy stosunków długości boków tego trójkąta.

R1AO5X5N4xnPx1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Sinusem kąta ostrego α (w skrócie sinα) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej.

  • Cosinusem kąta ostrego α (w skrócie cosα) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α do długości przeciwprostokątnej.

  • Tangensem kąta ostrego α (w skrócie tgα) nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie α.

    R10rUYzxz6Pk11
    Animacja prezentuje definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości a, b i przeciwprostokątnej c. Kąt alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a. Kąt 90 minus alfa leży naprzeciw przyprostokątnej b. Zmieniając długości boków trójkąta lub miarę kąta alfa, obliczamy zgodnie z definicją sinus, cosinus i tangens kąta alfa i kąta 90 minus alfa.
    Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

    Korzystając z oznaczeń na rysunku, zapisujemy

sinα=ac, cosα=bc, tgα=ab.

Powyższe zależności nazywa się funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego α.

Przykład 1
R9WPgtxn7Eam4
Animacja pokazuje, jak wyznaczyć wysokość Piramidy Cheopsa.

Obliczona wartość może różnić się od wartości rzeczywistej ze względu na małą dokładność pomiarów oraz obliczeń.

R423YnZOKpXoR1
Animacja pokazuje jak wyznaczyć wysokość rampy korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.
Uwaga!

Bezpośrednio z definicji wynika, że dla dowolnego kąta ostrego a

sinα>0, cosα>0.

Ponadto, w każdym trójkącie prostokątnym najdłuższym bokiem jest przeciwprostokątna, zatem dla dowolnego kąta ostrego α

sinα<1, cosα<1.
 1
Twierdzenie:  1

Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są nierówności:

0<sinα<1
0<cosα<1.
Uwaga!

Jeżeli jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę α, to drugi kąt ostry w tym trójkącie ma miarę 90°-α. Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych, zapisujemy

sin90°-α=bc
cos90°-α=ac
tg90°-α=bc.
RpERCVafJ0Ckk1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
 2
Twierdzenie:  2

Dla dowolnego kąta ostrego α prawdziwe są równości

cos90°-α=sinα
sin90°-α=cosα
tg90°-α=1tgα.
Polecenie 1

Zapoznaj się z poniższą animacją, która pokazuje jak obliczamy sinusy kątów ostrych.

R1ruKn4eO4V3V1
Animacja pokazuje jak obliczyć sinus dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długość a, b i przeciwprostokątnej długość c. Kąt alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a, kąt beta leży naprzeciw przyprostokątnej b. Mierzymy linijką długości przyprostokątnej a i przeciwprostokątnej c trójkąta prostokątnego dla kątów 10 stopni, 20 stopni, 30 stopni, 40 stopni, 50 stopni, 60 stopni, 80 stopni, 90 stopni. Otrzymane liczby wstawiamy do wzoru funkcji sinus i obliczamy wartość funkcji sinus dla danego kąta. Otrzymane wartości tworzą na wykresie fragment funkcji sinus.
Polecenie 2

Zapoznaj się z poniższą animacją, która pokazuje, jak obliczamy cosinusy kątów ostrych.

RpCUgFQNB6haW1
Animacja pokazuje jak obliczyć cosinus dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długość a, b i przeciwprostokątnej długość c. Kąt alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a, kąt beta leży naprzeciw przyprostokątnej b. Mierzymy linijką długości przyprostokątnej b i przeciwprostokątnej c trójkąta prostokątnego dla kątów 10 stopni, 20 stopni, 30 stopni, 40 stopni, 50 stopni, 60 stopni, 80 stopni, 90 stopni. Otrzymane liczby wstawiamy do wzoru funkcji cosinus i obliczamy wartość funkcji cosinus dla danego kąta. Otrzymane wartości tworzą na wykresie fragment funkcji cosinus.
Polecenie 3

Zapoznaj się z poniższą animacją, która pokazuje, jak obliczamy tangensy kątów ostrych.

RTLhCipf1KqFT1
Animacja pokazuje jak obliczyć tangens dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długość a, b i przeciwprostokątnej długość c. kąt alfa leży naprzeciw przyprostokątnej a, kąt beta leży naprzeciw przyprostokątnej b. Mierzymy linijką długości przyprostokątnych a i b trójkąta prostokątnego dla kątów 10 stopni, 20 stopni, 30 stopni, 40 stopni, 50 stopni, 60 stopni, 80 stopni, 90 stopni. Wstawiamy otrzymane liczby do wzoru funkcji tangens i obliczamy wartość funkcji tangens dla danego kąta. Otrzymane wartości tworzą na wykresie fragment funkcji tangens.