Słowniczek

definicja ogólna prawdopodobieństwa

Definicja: definicja ogólna prawdopodobieństwa

W doświadczeniu losowym określimy zbiór zdarzeń elementarnych

Ω = \{w_{1}, w_{2}, w_{3}, . . ., w_{n}\},

a zdarzeniom elementarnym $w_{1}, w_{2}, w_{3}, . . ., w_{n}$ przypiszemy takie liczby nieujemne odpowiednio $p_{1}, p_{2}, p_{3}, . . ., p_{n}$ , że $p_{1} + p_{2} + p_{3} + . . . + p_{n} = 1$ . Wówczas prawdopodobieństwem dowolnego zdarzenia $A \subset Ω$ nazywamy liczbę $P (A)$ , która jest sumą prawdopodobieństw przypisanych do zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$ .

Dominanta

Definicja: Dominanta

Dominantą (modą, wartością najczęstszą) nazywamy tę wartość, która występuje w próbie najczęściej.

Graniastosłup prosty

Definicja: Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to taki wielościan, którego dwie przystające ściany (podstawy graniastosłupa) są położone w równoległych płaszczyznach, a pozostałe ściany są prostokątami.

kąt nachylenia prostej do płaszczyzny

Definicja: kąt nachylenia prostej do płaszczyzny

Rozpatrzmy płaszczyznę $p$ oraz prostą $k$ , która nie jest ani równoległa, ani prostopadła do płaszczyzny $p$ . Kątem nachylenia prostej $k$ do płaszczyzny $p$ nazywamy kąt ostry między tą prostą i jej rzutem prostokątnym $l$ na płaszczyznę $p$ .

RmYkdWfrXdRPX1

Rysunek płaszczyzny p oraz dwóch prostych k i l. Prosta l leży na płaszczyźnie, prosta k nie należy do tej płaszczyzny ale przebija tę płaszczyznę pod kątem alfa. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

k‑elementowa kombinacja zbioru n‑elementowego

Definicja: k‑elementowa kombinacja zbioru n‑elementowego

Każdy $k$ -elementowy podzbiór zbioru $n$ -elementowego $(0 \leq k \leq n)$ nazywa się zwyczajowo $k$ -elementową kombinacją zbioru $n$ -elementowego.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Rozpatrzmy doświadczenie losowe, w którym wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, a $Ω$ jest zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych.
Prawdopodobieństwem $P (A)$ zdarzenia $A \subset Ω$ nazywamy wówczas iloraz liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$ przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:

P (A) = \frac{|A|}{|Ω|} .

Liczba elementów sumy n zbiorów rozłącznych

Własność: Liczba elementów sumy n zbiorów rozłącznych

Jeżeli zbiory $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n}$ są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru $A_{1} \cup A_{2} \cup . . . \cup A_{n}$ jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów $A_{1}, A_{2}, . . ., A_{n}$ :
$|A_{1} \cup A_{2} \cup . . . \cup A_{n}| = |A_{1}| + |A_{2}| + . . . + |A_{n}|$ .
Regułę, która jest zapisana w powyższym wzorze, nazywamy regułą dodawania.

liczba k‑elementowych kombinacji zbioru n‑elementowego

Twierdzenie: liczba k‑elementowych kombinacji zbioru n‑elementowego

Liczba $(\begin{array}{l} n \\ k \end{array})$ wszystkich $k$ -elementowych kombinacji zbioru $n -$ elementowego jest równa

\frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot . . . \cdot (n - k + 1)}{k \cdot (k - 1) \cdot (k - 2) \cdot . . . \cdot 1} .

liczba k–elementowych podzbiorów zbioru n–elementowego

Definicja: liczba k–elementowych podzbiorów zbioru n–elementowego

Rozpatrzmy zbiór $A = \{a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}\}$ , który ma $n (n \geq 1)$ elementów.
Symbolem $(\begin{array}{l} n \\ k \end{array})$ oznaczamy liczbę jego wszystkich podzbiorów k–elementowych $(k \geq 0$ i $k \leq n)$ .
Zapis symboliczny $(\begin{array}{l} n \\ k \end{array})$ odczytujemy „ $n$ po $k$ ”, stąd np.:

$(\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array})$ czytamy „pięć po dwa”,
$(\begin{array}{l} 7 \\ 1 \end{array})$ czytamy „siedem po jeden”,
$(\begin{array}{l} 6 \\ 0 \end{array})$ czytamy „sześć po zero”.

liczba k‑wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n‑elementowego

Własność: liczba k‑wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n‑elementowego

Liczba wszystkich $k$ -wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n‑elementowego jest równa

\underset{k czynników}{\underset{⏟}{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)}}

liczba k‑wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n‑elementowego

Własność: liczba k‑wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n‑elementowego

Liczba wszystkich $k$ – wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru $n$ – elementowego jest równa $n^{k}$ .

Mediana

Definicja: Mediana

Medianą (wartością środkową) uporządkowanego w kolejności niemalejącej zbioru $n$ liczb $x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3} \leq \dots \leq x_{n}$ jest:

dla nieparzystej liczby $n$ środkowy wyraz ciągu, czyli wyraz $x_{\frac{n + 1}{2},}$
dla parzystej liczby $n$ średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów ciągu, czyli $\frac{1}{2} (x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1})$ .

Odchylenie przeciętne

Definicja: Odchylenie przeciętne

Odchyleniem przeciętnym liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ nazywamy liczbę

\frac{|x_{1} - \bar{x}| + |x_{2} - \bar{x}| + \dots + |x_{n} - \bar{x}|}{n}

Odchylenie standardowe

Definicja: Odchylenie standardowe

Odchyleniem standardowym $σ$ liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ nazywamy liczbę

σ = \sqrt{\frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}}

Kwadrat tej wielkości nazywamy wariancją i oznaczamy symbolem $σ^{2}$ , czyli

σ^{2} = \frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n}

o dwóch płaszczyznach równoległych przeciętych płaszczyzną

Twierdzenie: o dwóch płaszczyznach równoległych przeciętych płaszczyzną

Jeżeli płaszczyzna przecina każdą z dwóch płaszczyzn równoległych, to otrzymane krawędzie przecięcia są prostymi równoległymi.

o dwóch różnych płaszczyznach nierównoległych

Twierdzenie: o dwóch różnych płaszczyznach nierównoległych

Jeżeli dwie różne płaszczyzny $p_{1}$ i $p_{2}$ mają wspólne dwa różne punkty $A$ i $B$ , to prosta $AB$ leży zarówno w płaszczyźnie $p_{1}$ , jak i w płaszczyźnie $p_{2}$ . Mówimy wtedy, że prosta $AB$ jest krawędzią przecięcia tych płaszczyzn.
W przestrzeni istnieją również pary płaszczyzn, które nie mają punktów wspólnych.

o prawdopodobieństwie sumy dwóch zdarzeń

Twierdzenie: o prawdopodobieństwie sumy dwóch zdarzeń

Załóżmy, że $A$ oraz $B$ są zdarzeniami ze zbioru zdarzeń elementarnych $Ω$ . Wtedy prawdopodobieństwo sumy $A \cup B$ zdarzeń $A$ oraz $B$ wyraża się wzorem

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B),

gdzie $A \cap B$ to zdarzenie, które jest iloczynem (częścią wspólną) zdarzeń $A, B$ .

o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego

Twierdzenie: o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego

Załóżmy, że $A$ jest zdarzeniem ze zbioru zdarzeń elementarnych $Ω$ . Wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia $A’$ , przeciwnego do $A$ , wyraża się wzorem

P (A') = 1 - P (A) .

o prostej prostopadłej do płaszczyzny

Twierdzenie: o prostej prostopadłej do płaszczyzny

Rozpatrzmy płaszczyznę $p$ oraz dwie zawarte w tej płaszczyźnie proste $l$ i $m$ , które przecinają się w punkcie $O$ . Jeżeli prosta $k$ przebija płaszczyznę $p$ w punkcie $O$ tak, że jest prostopadła zarówno do prostej $m$ , jak i do prostej $l$ , to jest ona prostopadła do każdej prostej leżącej w płaszczyźnie $p$ i przechodzącej przez punkt $O$ .

Ostrosłup

Definicja: Ostrosłup

Ostrosłup to taki wielościan, którego podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

o trzech prostych prostopadłych

Reguła: o trzech prostych prostopadłych

Rozpatrzmy płaszczyznę $p$ oraz prostą $k$ , która przebija tę płaszczyznę w punkcie $P$ . Oznaczmy przez $l$ prostą, która jest rzutem prostokątnym prostej $k$ na płaszczyznę $p$ .
Wówczas dowolna prosta $m$ leżąca w płaszczyźnie $p$ jest prostopadła do prostej $k$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej $l$ .

RUWble3XzXJms1

Rysunek płaszczyzny p oraz prostej k, która przebija tę płaszczyznę w punkcie P. Zaznaczono prostą l, która jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę p oraz prostą m leżącą na tej płaszczyźnie prostopadłej do prostych k i l. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dowód

Rozpatrzmy na prostej $k$ punkt $K$ różny od $P$ . Jego rzutem prostokątnym jest punkt $L$ , który leży na prostej $l$ .

Ra2Y85kyrBkJC1

Wtedy prosta $KL$ jest prostopadła do płaszczyzny $p$ , a więc każda płaszczyzna, która zawiera prostą $KL$ , jest prostopadła do $p$ . Jedną z takich płaszczyzn jest ta, którą wyznaczają proste $k$ i $l$ . Nazwijmy tę płaszczyznę $p’$ .
Rozpatrzmy prostą $n$ leżącą w płaszczyźnie $p’$ , przechodzącą przez punkt $P$ i równoległą do $KL$ .

R1IleUfwgRWBS1

Ponieważ prosta $n$ jest prostopadła do płaszczyzny $p$ , więc jest również prostopadła do prostej $m$ .
Zatem:

jeżeli $m$ jest także prostopadła do $k$ , to jest prostopadła do płaszczyzny $p’$ (bo jest prostopadła do dwóch prostych leżących w tej płaszczyźnie: $n$ oraz $k$ ), zatem i do prostej $l$ ,
jeżeli m jest także prostopadła do $l$ , to jest prostopadła do płaszczyzny $p’$ (bo jest prostopadła do dwóch prostych leżących w tej płaszczyźnie: $n$ oraz $l$ ), zatem i do prostej $k$ .

Oznacza to, że prosta $m$ jest prostopadła do prostej $k$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej $l$ .
To spostrzeżenie kończy dowód.

prosta przebijająca płaszczyznę

Definicja: prosta przebijająca płaszczyznę

Prosta, która nie leży w płaszczyźnie i nie jest do tej płaszczyzny równoległa, ma dokładnie jeden punkt wspólny z tą płaszczyzną. Mówimy, że prosta przebija płaszczyznę w tym punkcie.

RCtyi9tshgh3i1

Rysunek płaszczyzny p i prostej k, która przebija płaszczyznę w punkcie A. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

prosta równoległa do płaszczyzny

Definicja: prosta równoległa do płaszczyzny

Prosta, która nie leży w płaszczyźnie i nie ma z tą płaszczyzną punktów wspólnych, jest równoległa do tej płaszczyzny.

R1HvpnzinZShB1

Rysunek płaszczyzny p i prostej k równoległej do tej płaszczyzny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

prostej prostopadłej do płaszczyzny

Definicja: prostej prostopadłej do płaszczyzny

Prostą $k$ , przebijającą płaszczyznę $p$ w punkcie $O$ nazywamy prostopadłą do tej płaszczyzny, gdy prosta $k$ jest prostopadła do każdej prostej leżącej w płaszczyźnie $p$ i przechodzącej przez punkt $O$ .

proste skośne w przestrzeni

Definicja: proste skośne w przestrzeni

Dwie proste w przestrzeni, które nie leżą w jednej płaszczyźnie, nazywamy prostymi skośnymi.

Reguła mnożenia

Twierdzenie: Reguła mnożenia

Liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia, które polega na wykonaniu po kolei $n$ czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z $k_{1}$ sposobów, druga – na jeden z $k_{2}$ sposobów, trzecia – na jeden z $k_{3}$ sposobów i tak dalej do $n -$ tej czynności, która może zakończyć się na jeden z $k_{n}$ sposobów, jest równa

k_{1} \cdot k_{2} \cdot k_{3} \cdot . . . \cdot k_{n}

Powołując się na regułę mnożenia, można pokazać, że liczba $n$ , która w rozkładzie na czynniki pierwsze daje się zapisać w postaci

n = {p_{1}}^{α_{1}} \cdot {p_{2}}^{α_{2}} \cdot . . . \cdot {p_{k}}^{α_{k}},

gdzie $p_{1}, p_{2}, . . ., p_{k}$ są różnymi liczbami pierwszymi, a $α_{1}, α_{2}, . . ., α_{k}$ są dodatnimi liczbami całkowitymi,
ma

(α_{1} + 1) \cdot (α_{2} + 1) \cdot . . . \cdot (α_{k} + 1)

dodatnich dzielników całkowitych.

Różne płaszczyzny równoległe

Definicja: Różne płaszczyzny równoległe

Dwie różne płaszczyzny, które nie mają punktów wspólnych, nazywamy płaszczyznami równoległymi.

R1FB9b99j3Ufm1

Rysunek dwóch płaszczyzn równoległych: p indeks dolny 1 i p indeks dolny 2. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Stożek

Definicja: Stożek

Stożek to bryła, która powstała w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych.

Średnia arytmetyczna

Definicja: Średnia arytmetyczna

Średnią arytmetyczną liczb rzeczywistych $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ nazywamy liczbę $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}$ .

Średnia ważona

Definicja: Średnia ważona

Średnią ważoną liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ , którym przyporządkowane są odpowiednio dodatnie wagi $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ , nazywamy liczbę ${\bar{x}}_{w} = \frac{x_{1} ∙ w_{1} + x_{2} ∙ w_{2} + \dots + x_{n} ∙ w_{n}}{w_{1} + w_{2} + \dots {+ w}_{n}}$ .

Walec

Definicja: Walec

Walec jest to bryła, która powstała w wyniku obrotu prostokąta dookoła prostej zawierającej jeden z boków prostokąta.

Wariancja liczb

Twierdzenie: Wariancja liczb

Wariancja liczb $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ jest równa

σ^{2} = \frac{{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + \dots + {x_{n}}^{2}}{n} - {(\bar{x})}^{2}

Dowód

Przekształcając wzór z definicji wariancji ,otrzymujemy

σ^{2} = \frac{{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}}{n} =

= \frac{x_{1}^{2} - 2 x_{1} \cdot \bar{x} + {(\bar{x})}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{2} \cdot \bar{x} + {(\bar{x})}^{2} + \dots + x_{n}^{2} - 2 x_{n} \cdot \bar{x} + {(\bar{x})}^{2}}{n} =

= \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{n} - 2 \bar{x} \frac{x_{1} + x_{2} + \dots x_{n}}{n} + \frac{n \cdot {(\bar{x})}^{2}}{n} =

= \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{n} - 2 \cdot {(\bar{x})}^{2} + {(\bar{x})}^{2} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}{n} - {(\bar{x})}^{2}

Zdarzenie

Definicja: Zdarzenie

Dowolny podzbiór zbioru $Ω$ będziemy nazywać zdarzeniem, a elementy takiego podzbioru będziemy nazywać zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi temu zdarzeniu.
Zbiór pusty, czyli zdarzenie, któremu nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne, nazywamy zdarzeniem niemożliwym.
Zbiór $Ω$ , czyli zdarzenie, któremu sprzyja każde zdarzenie elementarne, nazywamy zdarzeniem pewnym.

zdarzenie przeciwne

Definicja: zdarzenie przeciwne

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia $A$ , należącego do zbioru zdarzeń elementarnych $Ω$ , nazywamy takie zdarzenie $A’$ należące do $Ω$ , któremu sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne, które nie sprzyjają zdarzeniu $A$ .
Z tej definicji wynika, że również zdarzenie $A$ jest zdarzeniem przeciwnym do $A’$ .

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (treść rozszerzona)