Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RlLBqu7pFU6hE

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt będącym jego przekrojem osiowym. Promień podstawy walca ma długość r, a wysokość walca ma długość h. Wymiary ścian bocznych prostokąta to dwa r oraz h.

Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca a $h$ jego wysokością, to, korzystając ze wzorów na pole powierzchni i objętość walca, rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}\pi r^{2}h=12\pi \\ 2\pi r^2+2\pi rh=20\pi \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{r}^{2}h=12\\ r^2+rh=10\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}h=\frac{12}{r^2}\\ r^2+r·\frac{12}{r^2}=10\end{array}\right.$

$r^3-10r+12=0$

$\left(r-2\right)·\left(r^2+2r-6\right)=0$

$r-2=0$, zatem $r=2$.

$r^2+2r-6=0$, zatem $r=-1-\sqrt{7}$ oraz $r=-1+\sqrt{7}$.

Ponieważ długość promienia jest liczbą naturalną, zatem $r=2$.

Wobec tego $h=\frac{12}{2^2}=3$.

Przekrojem osiowym walca jest prostokąt o bokach $4$ i $3$, więc jego pole jest równe:

$P=4·3=12$.

Narysujmy przekrój poprzeczny walca i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RqC7W3tWXDN56

Ilustracja przedstawia walec o promieniu podstawy r oraz jego przekrój poprzeczny o promieniu r. Przekrój ten jest prostopadły do osi obrotu walca i znajduje się w środku wysokości walca o długości h.

Jeżeli przekrojem poprzecznym walca jest koło o polu $27\pi$, to do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$\pi r^2=27\pi$

$r^2=27$, czyli $r=3\sqrt{3}$.

Ponieważ pole powierzchni walca jest równe $54\pi +48\sqrt{3}\pi$, zatem do wyznaczenia wartości $h$ rozwiązujemy równanie:

$54\pi +48\sqrt{3}\pi =2\pi ·{\left(3\sqrt{3}\right)}^2+2\pi ·3\sqrt{3}·h$

$27+24\sqrt{3}=27+3\sqrt{3}·h$, więc $h=8$.

Objętość walca wynosi:

$V=\pi ·{\left(3\sqrt{3}\right)}^2·8=216\pi$.

Narysujmy walec i przekrój osiowy oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

Rp3UtYm2QCTnM

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem osiowym. W prostokącie o wymiarach h na dwa r, gdzie h jest wysokością walca, natomiast r jest promieniem jego podstawy, zaznaczono także przekątną przekroju będącą pod kątem alfa do średnicy dolnej podstawy walca.

Ponieważ $\mathrm{tg}\alpha =3$, zatem $h=3·2r=6r$.

Wobec tego do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

${\left(2r\right)}^2+{\left(6r\right)}^2={20}^2$

$4r^2+36r^2=400$

$40r^2=400$, czyli $r^2=10$.

Zatem $r=\sqrt{10}$ oraz $h=6·\sqrt{10}=6\sqrt{10}$.

Pole przekroju osiowego walca jest równe:

$P=2\sqrt{10}·6\sqrt{10}=12·10=120$.