Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RKKAOz9Wvn9xW

Ćwiczenie 2

RcLWVlYkX3K5q

Ćwiczenie 3

RElzn0Jbpd8Pt

R1CLOV1XZcfZy

Ćwiczenie 4

R1WUmPHRLoT19

Ćwiczenie 5

Na rysunku przedstawiono walec, którego pole powierzchni bocznej jest równe $216 π$ a wysokość jest równa $9$ .

RMltb3KKhT7wL

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt będącym jego przekrojem osiowym. Promień podstawy walca ma długość r, a wysokość walca ma długość h. Wymiary ścian bocznych prostokąta to dwa r oraz h. Na ilustracji zaznaczono także przekątną prostokąta o długości d.

RUvZS7kk8xsFb

Ćwiczenie 6

Oblicz pole przekroju osiowego walca, jeżeli wiadomo, że pole walca jest równe $20 π$ , objętość jest równa $12 π$ , a długości promienia podstawy oraz wysokości są liczbami naturalnymi.

Narysujmy walec i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RlLBqu7pFU6hE

Jeżeli $r$ jest długością promienia podstawy walca a $h$ jego wysokością, to, korzystając ze wzorów na pole powierzchni i objętość walca, rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{cases} π r^{2} h = 12 π \\ 2 π r^{2} + 2 π r h = 20 π \end{cases}$

$\{\begin{cases} r^{2} h = 12 \\ r^{2} + r h = 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} h = \frac{12}{r^{2}} \\ r^{2} + r \cdot \frac{12}{r^{2}} = 10 \end{cases}$

$r^{3} - 10 r + 12 = 0$

$(r - 2) \cdot (r^{2} + 2 r - 6) = 0$

$r - 2 = 0$ , zatem $r = 2$ .

$r^{2} + 2 r - 6 = 0$ , zatem $r = - 1 - \sqrt{7}$ oraz $r = - 1 + \sqrt{7}$ .

Ponieważ długość promienia jest liczbą naturalną, zatem $r = 2$ .

Wobec tego $h = \frac{12}{2^{2}} = 3$ .

Przekrojem osiowym walca jest prostokąt o bokach $4$ i $3$ , więc jego pole jest równe:

$P = 4 \cdot 3 = 12$ .

Ćwiczenie 7

Przekrojem poprzecznym walca jest koło o polu $27 π$ . Oblicz objętość tego walca, jeżeli jego pole powierzchni całkowitej wynosi $54 π + 48 \sqrt{3} π$ .

Narysujmy przekrój poprzeczny walca i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RqC7W3tWXDN56

Ilustracja przedstawia walec o promieniu podstawy r oraz jego przekrój poprzeczny o promieniu r. Przekrój ten jest prostopadły do osi obrotu walca i znajduje się w środku wysokości walca o długości h.

Jeżeli przekrojem poprzecznym walca jest koło o polu $27 π$ , to do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$π r^{2} = 27 π$

$r^{2} = 27$ , czyli $r = 3 \sqrt{3}$ .

Ponieważ pole powierzchni walca jest równe $54 π + 48 \sqrt{3} π$ , zatem do wyznaczenia wartości $h$ rozwiązujemy równanie:

$54 π + 48 \sqrt{3} π = 2 π \cdot {(3 \sqrt{3})}^{2} + 2 π \cdot 3 \sqrt{3} \cdot h$

$27 + 24 \sqrt{3} = 27 + 3 \sqrt{3} \cdot h$ , więc $h = 8$ .

Objętość walca wynosi:

$V = π \cdot {(3 \sqrt{3})}^{2} \cdot 8 = 216 π$ .

Ćwiczenie 8

Przekątna przekroju osiowego walca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ , którego tangens jest równy $3$ . Oblicz objętość tego walca, jeżeli przekątna przekroju osiowego ma długość $20$ .

Narysujmy walec i przekrój osiowy oraz wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

Rp3UtYm2QCTnM

Ilustracja przedstawia walec oraz prostokąt znajdujący się wewnątrz bryły będącym jego przekrojem osiowym. W prostokącie o wymiarach h na dwa r, gdzie h jest wysokością walca, natomiast r jest promieniem jego podstawy, zaznaczono także przekątną przekroju będącą pod kątem alfa do średnicy dolnej podstawy walca.

Ponieważ $tg α = 3$ , zatem $h = 3 \cdot 2 r = 6 r$ .

Wobec tego do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

${(2 r)}^{2} + {(6 r)}^{2} = 20^{2}$

$4 r^{2} + 36 r^{2} = 400$

$40 r^{2} = 400$ , czyli $r^{2} = 10$ .

Zatem $r = \sqrt{10}$ oraz $h = 6 \cdot \sqrt{10} = 6 \sqrt{10}$ .

Pole przekroju osiowego walca jest równe:

$P = 2 \sqrt{10} \cdot 6 \sqrt{10} = 12 \cdot 10 = 120$ .

Animacja 3D

Dla nauczyciela