Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1ONM5dAu0IIw1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź. Jednym z rozwiązań równania
$\frac{x - 1}{x - 3} + \frac{x + 7}{x + 3} = \frac{4}{5}$ jest liczba:

$- 7$
$- 3$
$- 1$
$0$

RupPidTilE5x21

Ćwiczenie 2

Zaznacz poprawną odpowiedź. Równanie $\frac{x + 3}{x - 3} = \frac{x - 4}{x + 4}$ :

nie ma rozwiązania
ma dwa rozwiązania całkowite
ma jedno rozwiązanie, które jest liczbą niewymierną
ma jedno rozwiązanie, które jest liczbą naturalną

R1HI2XjR4G2RT1

Ćwiczenie 3

Wskaż wszystkie liczby, które nie należą do dziedziny równania $\frac{4 - x}{4 - x} + \frac{4}{4 + x^{2}} - \frac{3 - x}{2 (3 + x)} = 0$ :

$- 4$
$- 3$
$0$
$4$

RdfxVSnkiPDMN2

Ćwiczenie 4

Łączenie par. Rozwiąż równanie

\frac{x + 3}{x^{2} - 1} - \frac{x + 6}{x - 1} = \frac{2 x + 1}{x + 1}

i zaznacz, która odpowiedź jest prawdziwa, a która fałszywa.. Równanie nie ma rozwiązania.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Do dziedziny równania nie należą dwie liczby.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Iloczyn rozwiązań równania jest liczbą ujemną.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Wszystkie liczby spełniające to równanie są liczbami całkowitymi.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Rozwiąż równanie $\frac{x + 3}{x^{2} - 1} - \frac{x + 6}{x - 1} = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ i zaznacz, która odpowiedź jest prawdziwa, a która fałszywa.

	Prawda	Fałsz
Równanie nie ma rozwiązania.	□	□
Do dziedziny równania nie należą dwie liczby.	□	□
Iloczyn rozwiązań równania jest liczbą ujemną.	□	□
Wszystkie liczby spełniające to równanie są liczbami całkowitymi.	□	□

Rj1qAlRrNpKSt2

Ćwiczenie 5

Rozwiąż równanie $25^{\frac{x}{3}} = {(\frac{1}{5})}^{\frac{6 - 4 x}{x}}$ i wpisz liczbę, która jest rozwiązaniem tego równania.

Rozwiązaniem równania jest .............

RPVBzH5b8YiL92

Ćwiczenie 6

Wpisz najmniejszą liczbę naturalną, przez którą należy pomnożyć obie strony równania, aby „pozbyć się” mianownika.
$\frac{2 x + 7}{5} - \frac{3}{4} x + 9 \cdot \frac{6 - x}{7} = \frac{11 (5 x - 7)}{6} - \frac{1}{18}$

Najmniejsza liczba naturalna to .............

RE2DVnExlPvXW3

Ćwiczenie 7

Dostępne opcje do wyboru:

16 - x + x

6

16

16 x - 60

(16 - x)

0

16,

16

10

. Polecenie: Uzupełnij rozwiązanie zadania, przeciągając odpowiednie wyrażenia. Suma dwóch różnych liczb jest równa

16

, a suma ich odwrotności jest równa

\frac{4}{15}

. Znajdź te liczby.
Rozwiązanie:
Oznaczmy:

x

– pierwsza z szukanych liczb
Równanie wynikające z treści zadania to

\frac{1}{x} +

(1 :

luka do uzupełnienia

) = \frac{4}{15}

Dziedzina równania:

D = ℝ ∖ ｛

luka do uzupełnienia

,

luka do uzupełnienia

｝

.
Rozwiązujemy równanie.

(

luka do uzupełnienia

)

: [x (16 - x)] = \frac{4}{15}

\frac{16}{- x^{2} + 16 x} =

(

luka do uzupełnienia

: 60)

- x^{2} +

luka do uzupełnienia

= 0

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

∆ =

luka do uzupełnienia

> 0

x_{1} = 10 \in D

x_{2} =

luka do uzupełnienia

\in D

x_{1} = 10 \Rightarrow 16 - 10 = 6

x_{2} = 6 \Rightarrow 16 - 6 =

luka do uzupełnienia
Odpowiedź:
Szukane liczby to

6

10

Uzupełnij rozwiązanie zadania, przeciągając odpowiednie wyrażenia.

$10$ , $16,$ $16 - x + x$ , $6$ , $0$ , $16$ , $16$ , $(16 - x)$ , $16 x - 60$

Suma dwóch różnych liczb jest równa $16$ , a suma ich odwrotności jest równa $\frac{4}{15}$ . Znajdź te liczby.
Rozwiązanie:
Oznaczmy:
$x$ – pierwsza z szukanych liczb
Równanie wynikające z treści zadania to
$\frac{1}{x} +$ $(1 :$ $) = \frac{4}{15}$
Dziedzina równania: $D = ℝ ∖ ｛$ $,$ $｝$ .
Rozwiązujemy równanie.
$($ $)$ $: [x (16 - x)] = \frac{4}{15}$
$\frac{16}{- x^{2} + 16 x} =$ $($ $: 60)$
$- x^{2} +$ $= 0$
Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
$∆ =$ $> 0$
$x_{1} = 10 \in D$
$x_{2} =$ $\in D$
$x_{1} = 10 \Rightarrow 16 - 10 = 6$
$x_{2} = 6 \Rightarrow 16 - 6 =$
Odpowiedź:
Szukane liczby to $6$ i $10$ .

Ćwiczenie 8

Wykaż, że dla $x > 2$ równanie

$\frac{- 2 \sqrt{x} + x \sqrt{2} + \sqrt{2 x}}{\sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{2 x}}} = 2 x$ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

$\frac{- 2 \sqrt{x} + x \sqrt{2} + \sqrt{2 x}}{\sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{2 x}}} = 2 x$

Aby równanie miało rozwiązanie, mianownik musi być różny od zera, czyli

$\sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{2 x}} \neq 0$

$\sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{\frac{1}{x}} + \sqrt{\frac{1}{2 x}} = \frac{1 + \sqrt{x} - \sqrt{2}}{\sqrt{2 x}} = 0$

$1 + \sqrt{x} = \sqrt{2}$

Ponieważ $x > 2$ , więc $1 + \sqrt{x} > \sqrt{2}$ , zatem dla każdej liczby $x > 2$ jest różny od zera.

Przekształcamy lewą stronę równania.

$\frac{\sqrt{2 x} - \sqrt{2^{2} x} + \sqrt{2 x^{2}}}{\frac{1 + \sqrt{x} - \sqrt{2}}{\sqrt{2 x}}} = 2 x$

$\frac{2 x (1 - \sqrt{2} + \sqrt{x})}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{x}} = 2 x$

$2 x = 2 x$

Każda liczba większa od $2$ spełnia równanie, zatem równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Ćwiczenie 9

Przy pogłębianiu rowu pracowały trzy różne koparki.

Gdyby pracowała tylko pierwsza – wykonałaby całą pracę w czasie o $10$ dni dłuższym. Gdyby pracowała tylko druga koparka – wykonałaby pracę w czasie o $20$ dni dłuższym. Trzecia – samodzielnie pogłębiłaby rów w czasie $6$ razy dłuższym. W jakim czasie wykona daną pracę każda z koparek pracując oddzielnie?

Oznaczmy:

$x$ – w ciągu tylu dni pogłębiłyby trzy koparki rów, pracując wspólnie $(x > 0)$

$\frac{1}{x}$ – taką część pracy wykonają trzy koparki w ciągu jednego dnia

$\frac{1}{x + 10}$ – taką część pracy wykona pierwsza koparka w ciągu jednego dnia, pracując samodzielnie

$\frac{1}{x + 20}$ – taką część pracy wykona druga koparka w ciągu jednego dnia, pracując samodzielnie

$\frac{1}{6 x}$ – taką część pracy wykona trzecia koparka w ciągu jednego dnia, pracując samodzielnie

Zapisujemy równanie, wynikające z treści zadania.

$\frac{1}{x + 10} + \frac{1}{x + 20} + \frac{1}{6 x} = \frac{1}{x}$

Mnożymy obie strony równania przez $6 x \cdot (x + 10) (x + 20)$ , wykonujemy wskazane działania i redukujemy wyrazy podobne.

$6 x (x + 20) + 6 x (x + 10) + (x + 10) (x + 20) = 6 (x + 10) (x + 20)$

$6 x^{2} + 120 x + 6 x^{2} + 60 x + x^{2} + 20 x + 10 x + 200 =$

$= 6 x^{2} + 120 x + 60 x + 1200$

$7 x^{2} + 30 x - 1000 = 0$

$∆ = 900 + 28000 = 28900$

$x_{1} = \frac{- 30 - 170}{14} < 0$ – nie spełnia warunków zadania

$x_{2} = \frac{- 30 + 170}{14} = 10 > 0$

Obliczamy, ile dni pracowałaby każda z koparek.

$x + 10 = 20$

$x + 20 = 30$

$6 x = 60$

Koparka pierwsza pracowałaby $20$ dni, druga $30$ dni, trzecia $60$ dni. Pracując wspólnie pracę wykonają w ciągu $10$ dni.

Animacja

Dla nauczyciela