Strona główna
Liceum ogólnokształcące i technikum
Matematyka
Twierdzenie o trzech ciągach
Sprawdź się
Powrót
Wróć do informacji o e-podręczniku
Wydrukuj
Pobierz materiał do PDF
Pobierz materiał do EPUB
Pobierz materiał do MOBI
Zaloguj się, aby dodać do ulubionych
Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał
Zaloguj się, aby udostępnić materiał
Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
Oceń projekt
Animacja
Dla nauczyciela
Sprawdź się
1
Pokaż ćwiczenia:
RrYQukCSAWHvO
1
Ćwiczenie
1
Wskaż granicę ciągu o wyrazie ogólnym
a
n
=
3
n
+
6
n
+
1
n
. Możliwe odpowiedzi: 1.
3
, 2.
6
, 3.
1
, 4.
0
Rmmjdhp1cI7d0
1
Ćwiczenie
2
Wskaż ciąg, którego granica jest równa
4
. Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
4
n
+
(
-
1
)
n
2
n
+
1
, 2.
a
n
=
2
n
+
1
+
2
2
n
n
, 3.
a
n
=
4
2
n
+
3
n
n
R1VOosiqOLakA
2
Ćwiczenie
3
Wskaż ciągi, których granica jest równa
4
. Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
4
n
+
3
n
+
5
n
, 2.
a
n
=
4
n
+
3
n
+
5
n
n
, 3.
a
n
=
4
n
2
+
sin
n
+
1
n
2
+
2
, 4.
a
n
=
4
n
+
cos
2
n
n
2
+
1
R1evuC3PFkKDy
2
Ćwiczenie
4
Uzupełnij poniższe nierówności tak, aby na ich podstawie oraz z wykorzystaniem twierdzenia o trzech ciągach można było wyznaczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
a
n
=
2
+
4
n
+
5
n
n
1.
3
n
, 2.
5
n
, 3.
3
, 4.
3
n
n
, 5.
5
n
n
, 6.
5
=
1.
3
n
, 2.
5
n
, 3.
3
, 4.
3
n
n
, 5.
5
n
n
, 6.
5
≤
2
+
4
n
+
5
n
n
≤
5
·
1.
3
n
, 2.
5
n
, 3.
3
, 4.
3
n
n
, 5.
5
n
n
, 6.
5
Uzupełnij poniższe nierówności tak, aby na ich podstawie oraz z wykorzystaniem twierdzenia o trzech ciągach można było wyznaczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym
a
n
=
2
+
4
n
+
5
n
n
1.
3
n
, 2.
5
n
, 3.
3
, 4.
3
n
n
, 5.
5
n
n
, 6.
5
=
1.
3
n
, 2.
5
n
, 3.
3
, 4.
3
n
n
, 5.
5
n
n
, 6.
5
≤
2
+
4
n
+
5
n
n
≤
5
·
1.
3
n
, 2.
5
n
, 3.
3
, 4.
3
n
n
, 5.
5
n
n
, 6.
5
R1Vhi6XRpfpK9
2
Ćwiczenie
5
Połacz w pary ciągi z ich granicami.
a
n
=
4
n
+
6
n
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
5
, 2.
3
, 3.
9
, 4.
6
, 5.
4
a
n
=
2
2
n
+
3
n
+
5
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
5
, 2.
3
, 3.
9
, 4.
6
, 5.
4
a
n
=
9
n
2
+
(
-
1
)
n
+
1
3
n
2
+
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
5
, 2.
3
, 3.
9
, 4.
6
, 5.
4
a
n
=
9
n
-
sin
2
n
n
+
3
Możliwe odpowiedzi: 1.
5
, 2.
3
, 3.
9
, 4.
6
, 5.
4
a
n
=
9
-
n
+
3
n
+
5
n
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
5
, 2.
3
, 3.
9
, 4.
6
, 5.
4
Połacz w pary ciągi z ich granicami.
a
n
=
4
n
+
6
n
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
5
, 2.
3
, 3.
9
, 4.
6
, 5.
4
a
n
=
2
2
n
+
3
n
+
5
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
5
, 2.
3
, 3.
9
, 4.
6
, 5.
4
a
n
=
9
n
2
+
(
-
1
)
n
+
1
3
n
2
+
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
5
, 2.
3
, 3.
9
, 4.
6
, 5.
4
a
n
=
9
n
-
sin
2
n
n
+
3
Możliwe odpowiedzi: 1.
5
, 2.
3
, 3.
9
, 4.
6
, 5.
4
a
n
=
9
-
n
+
3
n
+
5
n
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
5
, 2.
3
, 3.
9
, 4.
6
, 5.
4
2
Ćwiczenie
6
RyDahNmsBLbcP
Zaznacz kolorem zielonym poprawne granice podanych ciągów. Kolorem czerwonym zaznacz błędne granice.
lim
n
→
+
∞
3
-
n
+
2
n
+
4
n
=
2
lim
n
→
+
∞
3
n
+
2
n
+
4
-
n
n
=
3
lim
n
→
+
∞
2
n
+
3
2
n
+
5
n
n
=
4
lim
n
→
+
∞
3
2
n
+
4
n
+
1
n
=
9
Zaznacz kolorem zielonym poprawne granice podanych ciągów. Kolorem czerwonym zaznacz błędne granice.
lim
n
→
+
∞
3
-
n
+
2
n
+
4
n
=
2
lim
n
→
+
∞
3
n
+
2
n
+
4
-
n
n
=
3
lim
n
→
+
∞
2
n
+
3
2
n
+
5
n
n
=
4
lim
n
→
+
∞
3
2
n
+
4
n
+
1
n
=
9
R9uMpGavKuEiS
Wymyśl pytanie na kartkówkę związane z tematem materiału.
RClWVzOkDBi1L
3
Ćwiczenie
7
Łączenie par. Dla każdego z podanych ciągów zaznacz jego granicę..
a
n
=
6
n
+
9
-
n
n
. Możliwe odpowiedzi:
3
,
6
,
9
.
a
n
=
3
2
n
+
6
n
n
. Możliwe odpowiedzi:
3
,
6
,
9
.
a
n
=
6
n
+
3
n
+
2
n
. Możliwe odpowiedzi:
3
,
6
,
9
.
a
n
=
6
-
n
+
3
n
n
. Możliwe odpowiedzi:
3
,
6
,
9
Łączenie par. Dla każdego z podanych ciągów zaznacz jego granicę..
a
n
=
6
n
+
9
-
n
n
. Możliwe odpowiedzi:
3
,
6
,
9
.
a
n
=
3
2
n
+
6
n
n
. Możliwe odpowiedzi:
3
,
6
,
9
.
a
n
=
6
n
+
3
n
+
2
n
. Możliwe odpowiedzi:
3
,
6
,
9
.
a
n
=
6
-
n
+
3
n
n
. Możliwe odpowiedzi:
3
,
6
,
9
R1LYO2cHNwsuZ
3
Ćwiczenie
8
Połącz w pary ciągi o tych samych granicach.
a
n
=
5
n
+
7
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
6
n
2
+
cos
(
n
-
3
)
3
n
2
+
2
n
, 2.
a
n
=
n
+
cos
n
2
+
n
, 3.
a
n
=
4
n
2
+
n
+
2
cos
n
n
2
+
4
n
+
1
, 4.
a
n
=
sin
n
2
+
1
+
5
n
n
, 5.
a
n
=
n
+
cos
n
2
n
+
1
a
n
=
2
3
n
+
4
n
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
6
n
2
+
cos
(
n
-
3
)
3
n
2
+
2
n
, 2.
a
n
=
n
+
cos
n
2
+
n
, 3.
a
n
=
4
n
2
+
n
+
2
cos
n
n
2
+
4
n
+
1
, 4.
a
n
=
sin
n
2
+
1
+
5
n
n
, 5.
a
n
=
n
+
cos
n
2
n
+
1
a
n
=
2
n
+
5
1
-
n
+
4
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
6
n
2
+
cos
(
n
-
3
)
3
n
2
+
2
n
, 2.
a
n
=
n
+
cos
n
2
+
n
, 3.
a
n
=
4
n
2
+
n
+
2
cos
n
n
2
+
4
n
+
1
, 4.
a
n
=
sin
n
2
+
1
+
5
n
n
, 5.
a
n
=
n
+
cos
n
2
n
+
1
a
n
=
3
n
+
2
+
2
2
n
+
1
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
6
n
2
+
cos
(
n
-
3
)
3
n
2
+
2
n
, 2.
a
n
=
n
+
cos
n
2
+
n
, 3.
a
n
=
4
n
2
+
n
+
2
cos
n
n
2
+
4
n
+
1
, 4.
a
n
=
sin
n
2
+
1
+
5
n
n
, 5.
a
n
=
n
+
cos
n
2
n
+
1
a
n
=
9
3
2
n
+
6
n
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
6
n
2
+
cos
(
n
-
3
)
3
n
2
+
2
n
, 2.
a
n
=
n
+
cos
n
2
+
n
, 3.
a
n
=
4
n
2
+
n
+
2
cos
n
n
2
+
4
n
+
1
, 4.
a
n
=
sin
n
2
+
1
+
5
n
n
, 5.
a
n
=
n
+
cos
n
2
n
+
1
Połącz w pary ciągi o tych samych granicach.
a
n
=
5
n
+
7
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
6
n
2
+
cos
(
n
-
3
)
3
n
2
+
2
n
, 2.
a
n
=
n
+
cos
n
2
+
n
, 3.
a
n
=
4
n
2
+
n
+
2
cos
n
n
2
+
4
n
+
1
, 4.
a
n
=
sin
n
2
+
1
+
5
n
n
, 5.
a
n
=
n
+
cos
n
2
n
+
1
a
n
=
2
3
n
+
4
n
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
6
n
2
+
cos
(
n
-
3
)
3
n
2
+
2
n
, 2.
a
n
=
n
+
cos
n
2
+
n
, 3.
a
n
=
4
n
2
+
n
+
2
cos
n
n
2
+
4
n
+
1
, 4.
a
n
=
sin
n
2
+
1
+
5
n
n
, 5.
a
n
=
n
+
cos
n
2
n
+
1
a
n
=
2
n
+
5
1
-
n
+
4
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
6
n
2
+
cos
(
n
-
3
)
3
n
2
+
2
n
, 2.
a
n
=
n
+
cos
n
2
+
n
, 3.
a
n
=
4
n
2
+
n
+
2
cos
n
n
2
+
4
n
+
1
, 4.
a
n
=
sin
n
2
+
1
+
5
n
n
, 5.
a
n
=
n
+
cos
n
2
n
+
1
a
n
=
3
n
+
2
+
2
2
n
+
1
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
6
n
2
+
cos
(
n
-
3
)
3
n
2
+
2
n
, 2.
a
n
=
n
+
cos
n
2
+
n
, 3.
a
n
=
4
n
2
+
n
+
2
cos
n
n
2
+
4
n
+
1
, 4.
a
n
=
sin
n
2
+
1
+
5
n
n
, 5.
a
n
=
n
+
cos
n
2
n
+
1
a
n
=
9
3
2
n
+
6
n
n
Możliwe odpowiedzi: 1.
a
n
=
6
n
2
+
cos
(
n
-
3
)
3
n
2
+
2
n
, 2.
a
n
=
n
+
cos
n
2
+
n
, 3.
a
n
=
4
n
2
+
n
+
2
cos
n
n
2
+
4
n
+
1
, 4.
a
n
=
sin
n
2
+
1
+
5
n
n
, 5.
a
n
=
n
+
cos
n
2
n
+
1