Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RASq6uTmu2e381

Ćwiczenie 1

Wskaż uczelnie, do których mógł zwrócić się Christian Doppler, gdy "Poszukiwał bezskutecznie bardziej odpowiedniego stanowiska w różnych szkołach i na uczelniach rozległego imperium Habsburgów".

Uniwersytet Karola w Pradze
Monachijski Uniwersytet Techniczny
Politechnika w Zurychu
Uniwersytet Jagielloński w Krakowie
Uniwersytet Lwowski
Uniwersytet w Wenecji
Instytut Geometricum-Hydrotechnicum w Budapeszcie

Ćwiczenie 2

Rozstrzygnij, czy Christiana Dopplera uznaje się za odkrywcę gwiazd podwójnych.

Wpisz swoją odpowiedź, wraz z krótkim uzasadnieniem, w przygotowane pole. Porównaj ją następnie z odpowiedzią wzorcową.

RZJpRYYLbE1wD2

Ćwiczenie 3

Układ spektroskopowo podwójny Możliwe odpowiedzi: 1. Układ, w którym gwiazdy są wystarczająco daleko od siebie, by były widziane z Ziemi przez teleskop jako dwa oddzielne źródła światła., 2. Układ, w którym prędkości orbitalne gwiazd wywołują możliwe do zaobserwowania z Ziemi przesunięcia linii (emisyjnych lub absorpcyjnych) w ich widmach. Okresowe przesuwanie się linii następuje ze względu na efekt Dopplera., 3. Układ, w którym obserwuje się z Ziemi okresowe przesłanianie się gwiazd. Taka obserwacja jest możliwa dzięki specyficznej orientacji płaszczyzny orbity gwiazd w stosunku do linii patrzenia obserwatora., 4. Nie istnieje taki rodzaj gwiazd podwójnych., 5. Układ, w którym z Ziemi bezpośrednio obserwowana jest tylko jedna gwiazda. O obecności drugiej, niewidocznej gwiazdy wnioskuje się pośrednio, rejestrując jej wpływ na okresowy ruch pierwszej. Taki wpływ może pochodzić od pola grawitacyjnego drugiej gwiazdy. Układ podwójny astrometryczny Możliwe odpowiedzi: 1. Układ, w którym gwiazdy są wystarczająco daleko od siebie, by były widziane z Ziemi przez teleskop jako dwa oddzielne źródła światła., 2. Układ, w którym prędkości orbitalne gwiazd wywołują możliwe do zaobserwowania z Ziemi przesunięcia linii (emisyjnych lub absorpcyjnych) w ich widmach. Okresowe przesuwanie się linii następuje ze względu na efekt Dopplera., 3. Układ, w którym obserwuje się z Ziemi okresowe przesłanianie się gwiazd. Taka obserwacja jest możliwa dzięki specyficznej orientacji płaszczyzny orbity gwiazd w stosunku do linii patrzenia obserwatora., 4. Nie istnieje taki rodzaj gwiazd podwójnych., 5. Układ, w którym z Ziemi bezpośrednio obserwowana jest tylko jedna gwiazda. O obecności drugiej, niewidocznej gwiazdy wnioskuje się pośrednio, rejestrując jej wpływ na okresowy ruch pierwszej. Taki wpływ może pochodzić od pola grawitacyjnego drugiej gwiazdy. Układ akustycznie podwójny Możliwe odpowiedzi: 1. Układ, w którym gwiazdy są wystarczająco daleko od siebie, by były widziane z Ziemi przez teleskop jako dwa oddzielne źródła światła., 2. Układ, w którym prędkości orbitalne gwiazd wywołują możliwe do zaobserwowania z Ziemi przesunięcia linii (emisyjnych lub absorpcyjnych) w ich widmach. Okresowe przesuwanie się linii następuje ze względu na efekt Dopplera., 3. Układ, w którym obserwuje się z Ziemi okresowe przesłanianie się gwiazd. Taka obserwacja jest możliwa dzięki specyficznej orientacji płaszczyzny orbity gwiazd w stosunku do linii patrzenia obserwatora., 4. Nie istnieje taki rodzaj gwiazd podwójnych., 5. Układ, w którym z Ziemi bezpośrednio obserwowana jest tylko jedna gwiazda. O obecności drugiej, niewidocznej gwiazdy wnioskuje się pośrednio, rejestrując jej wpływ na okresowy ruch pierwszej. Taki wpływ może pochodzić od pola grawitacyjnego drugiej gwiazdy. Układ podwójny zaćmieniowy Możliwe odpowiedzi: 1. Układ, w którym gwiazdy są wystarczająco daleko od siebie, by były widziane z Ziemi przez teleskop jako dwa oddzielne źródła światła., 2. Układ, w którym prędkości orbitalne gwiazd wywołują możliwe do zaobserwowania z Ziemi przesunięcia linii (emisyjnych lub absorpcyjnych) w ich widmach. Okresowe przesuwanie się linii następuje ze względu na efekt Dopplera., 3. Układ, w którym obserwuje się z Ziemi okresowe przesłanianie się gwiazd. Taka obserwacja jest możliwa dzięki specyficznej orientacji płaszczyzny orbity gwiazd w stosunku do linii patrzenia obserwatora., 4. Nie istnieje taki rodzaj gwiazd podwójnych., 5. Układ, w którym z Ziemi bezpośrednio obserwowana jest tylko jedna gwiazda. O obecności drugiej, niewidocznej gwiazdy wnioskuje się pośrednio, rejestrując jej wpływ na okresowy ruch pierwszej. Taki wpływ może pochodzić od pola grawitacyjnego drugiej gwiazdy. Układ wizualnie podwójny Możliwe odpowiedzi: 1. Układ, w którym gwiazdy są wystarczająco daleko od siebie, by były widziane z Ziemi przez teleskop jako dwa oddzielne źródła światła., 2. Układ, w którym prędkości orbitalne gwiazd wywołują możliwe do zaobserwowania z Ziemi przesunięcia linii (emisyjnych lub absorpcyjnych) w ich widmach. Okresowe przesuwanie się linii następuje ze względu na efekt Dopplera., 3. Układ, w którym obserwuje się z Ziemi okresowe przesłanianie się gwiazd. Taka obserwacja jest możliwa dzięki specyficznej orientacji płaszczyzny orbity gwiazd w stosunku do linii patrzenia obserwatora., 4. Nie istnieje taki rodzaj gwiazd podwójnych., 5. Układ, w którym z Ziemi bezpośrednio obserwowana jest tylko jedna gwiazda. O obecności drugiej, niewidocznej gwiazdy wnioskuje się pośrednio, rejestrując jej wpływ na okresowy ruch pierwszej. Taki wpływ może pochodzić od pola grawitacyjnego drugiej gwiazdy.

Zapoznaj się z nazwami różnych rodzajów gwiazd podwójnych oraz ich definicjami (opisami). Przyporządkuj definicje nazwom.

Układ, w którym z Ziemi bezpośrednio obserwowana jest tylko jedna gwiazda. O obecności drugiej, niewidocznej gwiazdy, wnioskuje się pośrednio, rejestrując jej wpływ na okresowy ruch pierwszej. Taki wpływ może pochodzić od pola grawitacyjnego drugiej gwiazdy., Układ, w którym prędkości orbitalne gwiazd wywołują możliwe do zaobserwowania z Ziemi przesunięcia linii (emisyjnych lub absorpcyjnych) w ich widmach. Okresowe przesuwanie się linii następuje ze względu na efekt Dopplera., Nie istnieje taki rodzaj gwiazd podwójnych., Układ, w którym obserwuje się z Ziemi okresowe przesłanianie się gwiazd. Taka obserwacja jest możliwa dzięki specyficznej orientacji płaszczyzny orbity gwiazd w stosunku do linii patrzenia obserwatora., Układ, w którym gwiazdy są wystarczająco daleko od siebie, by były widziane z Ziemi przez teleskop jako dwa oddzielne źródła światła.

Układ spektroskopowo podwójny
Układ podwójny astrometryczny
Układ akustycznie podwójny
Układ podwójny zaćmieniowy
Układ wizualnie podwójny

Ćwiczenie 3

Wyjaśnij, czym są następujące układy: spektroskopowo podwójny, podwójny astrometryczny, akustycznie podwójny, podwójny zaćmieniowy, wizualnie podwójny.

Ćwiczenie 4

Rozpatrujemy podwójny układ gwiazd. Obie krążą po kołowych orbitach, o różnych promieniach, wokół wspólnego środka masy (punkt S). Na schemacie pokazano wektory położeń gwiazd ${\vec{r}}_{1}$ i ${\vec{r}}_{2}$ , które tworzą kąt $\alpha$ . Każdemu opisowi wartości kąta $\alpha$ przyporządkuj jeden z trzech symboli { K – koniecznie / M – możliwe / N – niemożliwe }.

RLFtVtDiXSE66

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

R111TXk7GXuQI

α = 0 ............

α = 90⁰ ............

α = 180⁰ ............

α = 90⁰ gdy masy gwiazd są jednakowe ............

α jest ostry (ale różny od zera), gdy m₁ > m₂ a rozwarty (ale różny od kąta półpełnego) gdy m₁ < m₂ ............

α = 90⁰ gdy długości wektorów położeń są jednakowe ............

α jest ostry (ale różny od zera), gdy r₁ > r₂ a rozwarty (ale różny od kąta półpełnego) gdy r₁ < r₂ ............

R12C55Kr4rmsr

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Rozpatrujemy podwójny układ gwiazd. Jedna z nich krąży z prędkością vIndeks dolny 1 po orbicie kołowej o promieniu rIndeks dolny 1 wokół wspólnego środka masy (punkt S). Druga gwiazda także krąży po orbicie kołowej, o promieniu rIndeks dolny 2, o wspólnym środku z pierwszą, co pokazano na schemacie.

R1564wrMA24py

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Na podstawie podanych informacjach wskaż właściwe uzupełnienia czterech poniższych zdań:

RlfnER0KpZLlh

Masa m₂ drugiej gwiazdy jest w porównaniu z m₁ {#większa} / {taka sama} / {mniejsza} / {nie można rozstrzygnąć}.

Promień R₂ drugiej gwiazdy jest w porównaniu z R₁ {większy} / {taki sam} / {mniejszy} / {#nie można rozstrzygnąć}.

Temperatura powierzchni T₂ drugiej gwiazdy jest w porównaniu z T₁ {większa} / {taka sama} / {mniejsza} / {#nie można rozstrzygnąć}.

Prędkość orbitalna v₂ drugiej gwiazdy jest w porównaniu z v₁ {większa} / {taka sama} / {#mniejsza} / {nie można rozstrzygnąć}.

R2kh8GfuaZQlK

Wspólny tekst do ćwiczeń 6‑10.

Atmosfera gwiazdy, gdy jest rozgrzana do temperatury rzędu 3‑4 tysięcy kelwinów, emituje światło z całego zakresu widzialnej części widma fal elektromagnetycznych. Jest to widmo ciągłe – obecne są w nim fale o wszystkich częstotliwościach widzialnych. Zależnie od wielu czynników (m. in. skład chemiczny gwiazdy, budowa i rozkład temperatury poszczególnych części jej atmosfery) zauważamy wzmocnienie intensywności świecenia w niektórych częstotliwościach. Są to tzw. linie widmowe, charakterystyczne dla atomów określonych pierwiastków (także dla cząsteczek) świecących w atmosferze gwiazdy.

Na poniższym schemacie przedstawiono rozszczepienie w pryzmacie światła pochodzącego od hipotetycznej gwiazdy (Doppler nadałby jej zapewne imię Matylda). W gorącej atmosferze Matyldy znajduje się wyłącznie atomowy wodór. Na ekranie uzyskano ciągłe widmo widzialne, w zakresie długości fal od niecałych 400 nm (kraniec fioletowy) do nieco ponad 750 nm (kraniec czerwony).

R1eewPeHesh0h

Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Przedstawiono rozszczepienie w pryzmacie światła pochodzącego od hipotetycznej gwiazdy (Doppler nadałby jej zapewne imię Matylda). W gorącej atmosferze Matyldy znajduje się wyłącznie atomowy wodór. Na ekranie uzyskano ciągłe widmo widzialne, w zakresie długości fal od niecałych 400 nm (kraniec fioletowy) do nieco ponad 750 nm (kraniec czerwony).

Na tle widma ciągłego pokazane są trzy linie, charakterystyczne dla atomowego wodoru, znane od połowy XIX w.

RKIK2QS90PQyi2

Ćwiczenie 6

Powyższy schemat pokazuje, w uproszczeniu, zasadę działania (wskaż właściwą nazwę przyrządu):

dylatoskopu
gonioskopu
spektroskopu
astrometru
goniometru
refraktometru
spektrometru

R1GZxrKtqPZMI

Ćwiczenie 6

Powyższy schemat pokazuje, w uproszczeniu, zasadę działania (wskaż właściwą nazwę przyrządu):

dylatoskopu
gonioskopu
spektroskopu
astrometru
goniometru
refraktometru
spektrometru

Gwiazda Matylda jest składnikiem układu podwójnego. Płaszczyzna jej orbity zawiera w sobie kierunek obserwacji. Orbitę gwiazdy wokół środka masy S podzielono na cztery fazy, ponumerowane na schemacie cyframi rzymskimi.

RJs264H28Zqp6

Środek masy oznaczono czarnym punktem podpisanym wielkie S. Wokół mniejszy czerwony okrąg (obszar gwiazdy) oraz większy pomarańczowy (płaszczyzna jej orbity) z zaznaczonym kierunkiem strzałek zgodnie ze wskazówkami zegara. Okręgi podzielone są przerywanymi liniami w pionie i poziomie wzdłuż średnicy na cztery ćwiartki popisane kolejno, prawa górna 1, prawa dolna 2, lewa dolna 3, lewa górna 4. Na prawo biegną równolegle do siebie 3 strzałki podpisane "do obserwatora". — Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Regularna obserwacja linii HIndeks dolny alfa Indeks dolny koniec pokazuje, że okresowo zmienia się jej długość fali. W tym cyklu wyróżniamy trzy wartości:

lambdaIndeks dolny 0 = 656,30 nm; jest to długość fali linii HIndeks dolny alfa Indeks dolny koniec atomowego wodoru, którą obserwujemy w warunkach ziemskich.

lambdaIndeks dolny g = 656,47 nm; największa długość fali linii HIndeks dolny alfa Indeks dolny koniec, rejestrowana w tej obserwacji.

lambdaIndeks dolny d = 656,17 nm; najmniejsza długość fali linii HIndeks dolny alfa Indeks dolny koniec, rejestrowana w tej obserwacji.

R1ZtYzt3KROSA

Na czarnym pasku wyskalowanym od 656,0 do 656,5 nanometra zaznaczono 3 linie widmowe: lambda d, lambda 0 oraz lambda g. — Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Cykl zmian długości fali linii HIndeks dolny alfa Indeks dolny koniec można podzielić na cztery fazy, oznaczane literami A, B, C i D. Zaczynając od wartości lambdaIndeks dolny 0 linia ta przemieszcza się najpierw w kierunku fal coraz dłuższych (faza A).

R11nOjD6IAWnM

W fazie A zaznaczono dodatkowo linię wielkie H z indeksem alfa, która przesuwa się w prawo od linii lambda zero zgodnie s kierunkiem zaznaczonej strzałki. — Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Po kilkunastu dniach długość fali światła tej linii osiąga największą wartość lambdaIndeks dolny g. Przez kolejne kilkanaście dni długość fali maleje (faza B), aż osiągnie wartość lambdaIndeks dolny 0.

RakdmshxMpTRn

W fazie B zaznaczono dodatkowo linię wielkie H z indeksem alfa, która przesuwa się w lewo od linii lambda g zgodnie s kierunkiem zaznaczonej strzałki. — Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Długość fali maleje przez kolejne kilkanaście dni (faza C), aż do osiągnięcia najkrótszej wartości lambdaIndeks dolny d.

RrdSg5bjIOrW7

W fazie C zaznaczono dodatkowo linię wielkie H z indeksem alfa, która przesuwa się w lewo od linii lambda zero zgodnie s kierunkiem zaznaczonej strzałki. — Źródło: Maciej Mrowinski, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

Cykl zamknie się po kolejnych kilkunastu dniach (faza D), gdy długość fali ponownie zrówna się z wartością lambdaIndeks dolny 0.

R1UIktS7RxtfO

W fazie D zaznaczono dodatkowo linię wielkie H z indeksem alfa, która przesuwa się w prawo od linii lambda d zgodnie s kierunkiem zaznaczonej strzałki. — Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.

R6cmqnXfKD3Fh2

Ćwiczenie 7

Przyporządkuj poszczególnym fazom przesuwania się linii H_α na ekranie spektrometru właściwe fazy ruchu orbitalnego gwiazdy Matyldy.

III, II, I, IV

A
B
C
D

RRXOh8Luy2jb6

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Określ kierunek i zwrot oraz oblicz wartość prędkości gwiazdy Matyldy względem obserwatora w chwili, gdy wysyłane przez nią światło zawiera linię HIndeks dolny alfa Indeks dolny koniec o długości fali lambdaIndeks dolny d. Opisz swoje rozumowanie i wpisz wyniki w przygotowane pole a następnie porównaj z odpowiedzią wzorcową.

Gwiazda orbituje po okręgu z prędkością o stałej wartości v. Jednak prędkość ${\vec{v}}_{z}$ , z jaką zbliża się do obserwatora, nie ma stałej wartości. Prędkość ${\vec{v}}_{z}$ jest bowiem składową prędkości $\vec{v}$ w kierunku obserwatora.

Wartości obu wektorów spełniają nierówność $v_{z}$ ≤ v. Wartości te są równe, gdy oba wektory, ${\vec{v}}_{z}$ oraz $\vec{v}$ , są równoległe. Tak więc najsilniejsze przesunięcie linii HIndeks dolny alfa Indeks dolny koniec ku fioletowi obserwujemy, gdy prędkość $\vec{v}$ ma kierunek i zwrot „prosto ku obserwatorowi”. Sytuacja taka ma miejsce na pograniczu faz oznaczonych jako I i IV na schemacie ruchu gwiazdy.

Wartość v można obliczyć ze związku opisującego efektu Dopplera:

f' = f_{0} \cdot (1 + \frac{v}{c}),

w którym c jest prędkością światła, fIndeks dolny 0 jest częstotliwością światła w linii HIndeks dolny alfa Indeks dolny koniec emitowanego przez gwiazdę, zaś f’ jest częstotliwością tej samej linii, rejestrowaną przez obserwatora, do którego gwiazda się zbliża. To samo równanie, zapisane za pomocą długości fali (dla próżni) pozwala wyznaczyć wartość v:

\frac{c}{λ_{d}} = \frac{c}{λ_{0}} (1 + \frac{v}{c}) \Leftrightarrow (1 + \frac{v}{c}) = \frac{λ_{0}}{λ_{d}} \Leftrightarrow \frac{v}{c} = \frac{λ_{0}}{λ_{d}} - 1 = \frac{656, 3}{656, 17} - 1 \approx 1, 98 \cdot 10^{- 4}

Długości fali zostały wstawione do równania w nanometrach, a uzyskany stosunek $\frac{v}{c}$ jest wielkością bezwymiarową. Jeśli przyjmiemy wartość c = 3·10Indeks górny 5 $\frac{k m}{s}$ , to v ≈ 59,4 $\frac{k m}{s}$ .

Ćwiczenie 9

Linia HIndeks dolny alfa Indeks dolny koniec przesuwa się ku fioletowi maksymalnie o 0,13 nm. Zbadaj, czy maksymalne przesunięcie ku fioletowi linii HIndeks dolny beta Indeks dolny koniec oraz HIndeks dolny gamma Indeks dolny koniec jest takie samo, większe czy mniejsze. Opisz swoje rozumowanie i wpisz rozstrzygnięcie w przygotowane pole a następnie porównaj z odpowiedzią wzorcową.

Przekształćmy związek (wykorzystany w ćw. 8.), opisujący wzrost częstotliwości wskutek zbliżania się źródła światła do obserwatora. Zastosujmy te same oznaczenia.

$\begin{matrix} (1) & f' = f_{0} \cdot (1 + \frac{v}{c}) \end{matrix}$

(dalej: wykorzystujemy związek lambda·f = c)

$\begin{matrix} (2) & \frac{c}{λ_{d}} = \frac{c}{λ_{0}} \cdot (1 + \frac{v}{c}) \end{matrix}$

(dalej: dzielimy obie strony przez c oraz mnożymy przez iloczyn

lambdaIndeks dolny 0·lambdaIndeks dolny d)

$\begin{matrix} (3) & λ_{0} = λ_{d} \cdot (1 + \frac{v}{c}) \end{matrix}$

(dalej: odejmujemy od obu stron długość fali lambdaIndeks dolny d, wykonując mnożenie po prawej stronie)

$\begin{matrix} (4) & λ_{0} - λ_{d} = λ_{d} + λ_{d} \cdot \frac{v}{c} - λ_{d} = λ_{d} \cdot \frac{v}{c} \end{matrix}$

(dalej: wykorzystujemy fakt, że równanie (3) pozwala zapisać $\lambda_d=\lambda_0\cdot\frac{c}{c+v}$ ) i otrzymujemy:

$λ_{0} - λ_{d} = λ_{d} \cdot \frac{v}{c} = λ_{0} \cdot \frac{c}{c + v} \cdot \frac{v}{c} = λ_{0} \cdot \frac{v}{c + v} .$

Ostatnie równanie pokazuje, że przesunięcie ku fioletowi długości fali zależy nie tylko od wartości prędkości v, ale także od samej wartości lambdaIndeks dolny 0. Oznacza to, że im krótsza jest długość fali emitowanej przez gwiazdę, tym mniejsze będzie jej przesunięcie ku fioletowi. Tak właśnie jest w przypadku linii HIndeks dolny beta Indeks dolny koniec i HIndeks dolny gamma Indeks dolny koniec.

Ćwiczenie 10

Przyjmij, że dla drugiego składnika układu podwójnego można przeprowadzić analogiczne obserwacji i obliczenia. Znane są wówczas: okres obiegu T każdej z gwiazd wokół środka masy oraz prędkości liniowe vIndeks dolny 1 i vIndeks dolny 2 każdej z nich w jej ruchu po okręgu. Opisz postępowanie prowadzące ku porównaniu mas mIndeks dolny 1 i mIndeks dolny 2 składników układu oraz ku wyznaczeniu wartości tych mas. Wpisz swoją odpowiedź w przygotowane pole. Porównaj ją następnie z odpowiedzią wzorcową.

1. Znajomość okresu obiegu oraz prędkości liniowej w ruchu po okręgu pozwala wyznaczyć promień obiegu. Możemy więc znać rIndeks dolny 1 oraz rIndeks dolny 2 – promienie obiegu każdej z gwiazd.

2. Stosunek promieni obiegu jest równy odwrotnemu stosunkowi mas gwiazd. Potrafimy więc stwierdzić ile razy mIndeks dolny 1 jest większe (lub mniejsze) od mIndeks dolny 2.

3. Znając promień obiegu każdej gwiazdy, znamy także odległość d dzielącą te gwiazdy.

4. Możemy porównać wymaganą siłę dośrodkową, by gwiazda pierwsza poruszała się po okręgu z dostępną siłą grawitacji. W powstałym równaniu znamy wszystkie wielkości prócz masy mIndeks dolny 2, którą w ten sposób możemy wyznaczyć. Analogicznie postępując, wyznaczymy masę mIndeks dolny 1.

5. Uzupełnienie. W punkcie 4. uzyskuje się równania:

m_{1} = \frac{d^{2}}{G} \cdot \frac{v_{2}^{2}}{r_{2}}

oraz

m_{2} = \frac{d^{2}}{G} \cdot \frac{v_{1}^{2}}{r_{1}}

Audiobook

Dla nauczyciela