Gdy walec jest opisany na kuli, to styka się z nią w dwóch punktach oraz wzdłuż jednego okręgu. Powoduje to, że promień kuli $r_k$ oraz promień podstawy walca $r_w$ i jego wysokość $h$ nie są od siebie niezależne.

R677cz6lXLpsk

Rysunek przedstawia walec opisany na kuli. Zauważ, że w takim przypadku promień kuli powiązany jest zarówno z wysokością walca, jak i z promieniem jego podstawy.

Objętości kuli i walca dane są następującymi wyrażeniami, w których zastosowano oznaczenia z podpowiedzi:

Skoro walec jest opisany na kuli, to średnica jego podstawy jest równa średnicy kuli, czyli $r_w = r_k$ (oznaczmy go dalej przez $r$). Prawdą jest też, że wysokość walca jest równa średnicy kuli, czyli $h = 2r$. Możemy zatem napisać, że stosunek objętości tych brył wynosi

Przyjmij, że długość łuku $s_A = 10^{19}\,\text{m}$. Przyjmij także, że poza krótkim etapem rozpędzania dźwigni jej ruch był jednostajny.

Moc, z jaką jest wykonywana praca, jest równa iloczynowi siły i prędkości.

Warunek równowagi dźwigni poruszającej się ruchem jednostajnym wymaga, by iloczyny sił i odległości ich punktów przyłożenia od punktu podparcia były jednakowe,

gdzie przez $Q$ oznaczyliśmy ciężar Ziemi na powierzchni planety, w polu grawitacyjnym o natężeniu $g$. Z warunku tego można wyznaczyć stosunek długości ramion dźwigni,

Uznajemy, że łuki sIndeks dolny Z_Z oraz sIndeks dolny A_A wyznaczają kąty o tej samej mierze – dźwignia jest obiektem prostoliniowym. To zaś oznacza, że

Najmniejsza (różna od zera) wartość $s_Z$, jaką Archimedes mógł odczytać z przyrządu, to $10^{-4}\,\text{m}$ (rozdzielczość przyrządu). Należy więc uznać, że drugi koniec dźwigni musiał przebyć odległość $s_A = 10^{19}\,\text{m}$ (ok. 1000 lat świetlnych), by podnieść Ziemię na zauważalną wysokość stu mikronów.

Moc, z jaką pracuje Archimedes, jest powiązana z działającą siłą i prędkością przemieszczania się punktu jej przyłożenia:

Wynik ten oznacza, że Archimedes przesuwałby dźwignię przez $10^{19}\,\text{s}$, czyli ok. 30 miliardów lat. Powszechnie przyjmowane oszacowanie wieku Wszechświata to 14‑15 miliardów lat, a wiek Układu Słonecznego i samej Ziemi jest mniej więcej trzykrotnie krótszy. Jak widać, istnienie punktu podparcia jest warunkiem niezbędnym do poruszenia Ziemi. Prócz niego należałoby spełnić jeszcze wiele innych warunków: użycie odpowiednio dużej siły, zapewnienie jej działania z odpowiednio dużą mocą, dysponowanie odpowiednio sztywnym i wytrzymałym materiałem na dźwignię – to tylko niektóre z nich.

Fakt ten nie umniejsza jednak znaczenia wypowiedzi Archimedesa, jeśli potraktujemy ją jako wyobrażenie sobie określonej możliwości oraz zapowiedź pewnego zamiaru na przyszłość.