Ponieważ ta droga nie prowadzi wzdłuż sferycznej prostej, a najkrótsza droga pomiędzy dwoma punktami zawsze zawiera się w prostej. Przedstawia to na przykład poniższa ilustracja.

R1LfCQS4OffA1

Ilustracja przedstawia kulę, na powierzchni której narysowano dwa równoleżniki - jeden z nich jest równikiem, a drugi leży nad nim.

Na powierzchni każdej kuli jest zaznaczona sferyczna prosta, będąca odpowiednikiem równika na globusie. Występują też okręgi, które nie są okręgami wielkimi, a także czworokąty. Są też odcinki sferyczne, które są prostopadle do widocznej sferycznej prostej.

Popatrzmy na poniższe konstrukcje:

RlBvIjApUFGrA

Ilustracja przedstawia trzy proste: zieloną f, niebieską k i zieloną l, przy czym k i f są prostopadłe, co oznaczono kątem prostym. Prosta l przecina prostą f pod kątem 70 stopni, co również oznaczono. Wyróżniono również punkt przecięcia prostych l i k. Trzy proste tworzą trójkąt prostokątny. Na prostych l i f zaznaczono po jednym punkcie leżącym poza trójkątem.

Rfp0u1494pZkR

Ilustracja Ilustracja przedstawia trzy proste: zieloną f, niebieską k i zieloną l, przy czym k i l są równoległe, a f jest do nich prostopadła, co oznaczono kątami prostymi. Na równoległych prostych k i l zaznaczono po dwa punkty leżące po przeciwnych stronach prostej f.

RxyiTeNVEeZXD

Ilustracja przedstawia trzy proste: zieloną f, niebieską k i zieloną l, przy czym k i f są prostopadłe, co oznaczono kątem prostym. Prosta l przecina prostą f pod kątem 123 stopnie, co również oznaczono. Wyróżniono również punkt przecięcia prostych l i f. Trzy proste tworzą trójkąt prostokątny. Na prostych l i k zaznaczono po jednym punkcie leżącym poza trójkątem.

Widać, że do prostej można poprowadzić przez punkt tylko jedną prostą równoległą (czyli nie mającą z nią punktów wspólnych) – wtedy, gdy nie będzie istniał trójkąt utworzony przez trzy proste, czyli prosta przecinająca dwie badane proste tworzy z obydwoma kąty proste.

Ad a) Tekst piątego postulatu po zmianie:

Jeżeli okrąg wielki przecina dwa okręgi wielkie, tworząc dwa kąty wewnętrzne po tej samej stronie o sumie mniejszej niż dwa kąty proste, to te dwa okręgi wielkie przecinają się po tej stronie, po której znajdują się owe kąty wewnętrzne.

Ilustracja na sferze:

ReRl3XQmqrEL4

Ilustracja przedstawia sferę, na której narysowano południk i równik oraz oznaczono między nimi kąt prosty. Dodatkowo narysowano na powierzchni sfery koło dzielące sferę na pół i przecinając południk i równik.

Załóżmy, że okrąg wielki różowy jest okręgiem przecinającym okręgi zielony i fioletowy, których możliwość ewentualnego położenia równoległe badamy. W utworzonym trójkącie suma kątów przy „różowej” podstawie jest mniejsza niż dwa kąty proste. Inaczej być nie może, ponieważ, jeśli będziemy przemieszczać zielony okrąg wielki tak, aby drugi kąt przy podstawie stał się prosty, to okrąg ten przestanie być okręgiem wielkim. Tak więc niemożliwe jest takie wzajemne położenie sferycznych prostych jak położenie prostych na płaszczyźnie pokazane na rysunku poniżej.

R8rm3CbulbjI4

Ilustracja przedstawia trzy proste: zieloną f, niebieską k i zieloną l, przy czym k i l są równoległe, a f jest do nich prostopadła, co oznaczono kątami prostymi.

Ad b) Postulat równoległości dla sfery:

Przez dany punkt nie leżący na danej prostej sferycznej nie można poprowadzić prostej sferycznej równoległej do danej prostej sferycznej.

Uwaga:

Brak równoległości na sferze najłatwiej można wytłumaczyć w następujący sposób: Każde dwa okręgi sferyczne przecinają się.