Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1Va3D9BeRcjQ1

Ćwiczenie 1

Uzupełnij tekst Miara kąta środkowego jest 1.

4 dm

, 2.

80 mm

, 3.

17 cm

, 4.

4 cm

, 5.

0, 08 dm

, 6. wprost proporcjonalna, 7.

2, 4 dm

, 8. odwrotnie proporcjonalna, 9.

12 dm

, 10.

9 cm

do długości łuku wycinka koła opartego na tym kącie. W szczególności w kole o promieniu 1.

4 dm

, 2.

80 mm

, 3.

17 cm

, 4.

4 cm

, 5.

0, 08 dm

, 6. wprost proporcjonalna, 7.

2, 4 dm

, 8. odwrotnie proporcjonalna, 9.

12 dm

, 10.

9 cm

łuk oparty na kącie środkowym

12 °

ma długość

π \cdot

4 dm

, 2.

80 mm

, 3.

17 cm

, 4.

4 cm

, 5.

0, 08 dm

, 6. wprost proporcjonalna, 7.

2, 4 dm

, 8. odwrotnie proporcjonalna, 9.

12 dm

, 10.

9 cm

Uzupełnij tekst przeciągając wyrażenia w odpowiednie miejsca.

$12 dm$ , $4 dm$ , wprost proporcjonalna, $17 cm$ , $80 mm$ , $0, 08 dm$ , $9 cm$ , $4 cm$ , $2, 4 dm$ , odwrotnie proporcjonalna

Miara kąta środkowego jest ................................................ do długości łuku wycinka koła opartego na tym kącie. W szczególności w kole o promieniu ................................................ łuk oparty na kącie środkowym $12 °$ ma długość $π \cdot$ ................................................

Ćwiczenie 2

Rk0xZ1LHowx9j

R1W7UKevIIZYW

Ćwiczenie 3

Odległość między punktami $A$ , $B$ leżącymi na okręgu o środku w punkcie $O$ i promienu $6$ , wynosi $|A B| = 6 \sqrt{3}$ . Oblicz długość krótszego łuku, między tymi punktami.

Aby wyznaczyć długość łuku, musimy znaleźć najpierw miarę środkową kąta opartego na tym łuku. Niech $S$ będzie środkiem odcinka $|A B|$ . Zauważamy, że trójkąt $A B O$ jest równoramienny, zatem odcinek $|O S|$ jest wysokością tego trójkąta. Trójkąt $A O S$ jest prostokątny, oznaczmy $∢ A O S$ jako $α$ . Mamy zatem:

$\sin α = \frac{3 \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , więc

$α = 60 °$ ,

ponieważ trójkąt $A B O$ jest równoramienny, więc kąt $∢ B O S = 60 °$ . Zatem miara kąta środkowego wynosi $∢ B O A = 120 °$ , korzystając ze wzoru na długość łuku okręgu, mamy:

$l = 2 π \cdot 6 \cdot \frac{120 °}{360 °}$ ,

$l = \frac{12}{3} π$ .

Ostatecznie otrzymujemy,

$l = 4 π$ .

Zatem długość łuku $A B$ wynosi $4 π$ .

Długość łuku $A B$ wynosi $4 π$ .

Ćwiczenie 4

Oblicz obwód figury $A B C D$ przedstawionej na rysunku poniżej, jeżeli jej wierzchołki są punktami styczności czterech przystających okręgów oraz odcinek $A C$ ma długość $8 mm$ .

R88alfXPwchph

Ilustracja przedstawia pewną figurę. Powstała ona w następujący sposób: Narysowano kwadrat. Z każdego wierzchołka kwadratu zakreślono ćwiartki koła o promieniu równym połowie boku kwadratu, tak żeby znajdowały się one w kwadracie i ramiona wycinka koła pokrywały się z bokami kwadratu. Końcową figurę otrzymamy po odjęciu tych wycinków kół od kwadratu. Figura posiada ostro zakończone końcówki, lewą końcówkę oznaczono punktem A, górną punktem B, prawą punktem C, dolną punktem D.

RzDuRKS2V2tqT

Obwód figury wynosi:

$0, 8 π cm$
$0, 04 π dm$
$16 π mm$
$32 π mm$

Zauważamy, że długość wszystkich łuków jest identyczna i oparte są na tym samym kącie środkowym $90 °$ (wynika to z faktu, że opisane w zadaniu okręgi są styczne). Odcinek $A C$ o długości $8 mm$ jest równy sumie promieni dwóch okręgów. Promienie są sobie równe, zatem $r = 4 mm$ . Szukany obwód jest czterokrotnością długości rozważanego łuku, zatem

$l = 4 \cdot 2 π \cdot 4 \cdot \frac{90 °}{360 °}$ ,

a przekształcając powyższe równanie, otrzymujemy końcowy wynik $l = 8 π mm$ .

$l = 8 π mm$

Ćwiczenie 5

Rozważmy koło o promieniu $r$ . Wiemy, że liczba wyrażająca pole tego koła (w ${dm}^{2}$ ) jest $5$ razy mniejsza, niż liczba opisująca długość łuku opartego na kącie środkowym $117 °$ (w $cm$ ). Oblicz długość łuku opartego na kącie środkowym $117 °$ .

Pamiętamy, że $1 {dm}^{2} = 100 {cm}^{2}$ .
Oznaczmy przez $P_{dm}$ pole powierzchni koła w ${dm}^{2}$ , zaś przez $P_{cm}$ powierzchnię wyrażoną w ${cm}^{2}$ . Wówczas $100 \cdot P_{dm} = P_{cm}$ .
Niech $r$ wyraża promień rozważanego okręgu w $cm$ .

Wówczas zależność podana w zadaniu może być zapisana jako $P_{d m} = \frac{1}{5} \cdot 2 π \cdot \frac{117}{360} \cdot r$ .

Ze wzoru na pole powierzchni koła mamy $P_{dm} = \frac{P_{cm}}{100} = \frac{π \cdot r^{2}}{100}$ .

Zatem:

$\frac{π \cdot r^{2}}{100} = \frac{2 π}{5} \cdot r \cdot \frac{117}{360}$ ,

$r = 40 \cdot \frac{13}{40} = 13 cm$ .

Zatem długość szukanego łuku wynosi:

$l = 2 π \cdot 13 \cdot \frac{117}{360} = \frac{169}{20} π = 8 \frac{9}{20} π cm$ .

$l = 8 \frac{9}{20} π cm$ .

Ćwiczenie 6

Z punktu $D$ poprowadzono styczne do okręgu o środku w punkcie $A$ , co obrazuje poniższy rysunek.

R13IEElI3zIXf

Ilustracja przedstawia dwa okręgi. Większy z nich ma środek w punkcie A, mniejszy w punkcie D. Z punktu D poprowadzono styczne do większego okręgu. Punkty styczności na większym okręgu oznaczono jako B oraz C. Poprowadzono promień do punktu B oraz C. Na stycznej B D punkt przecięcia stycznej z mniejszym okręgiem oznaczono jako F, natomiast na stycznej C D punkt przecięcia stycznej z mniejszym okręgiem oznaczono jako E.

Ponadto, wiadomo jest, że: długość łuku $B C$ wynosi $2 π$ , kąt środkowy $∢ B A C$ ma miarę $120 °$ oraz $\frac{|B F|}{|F D|} = 8$ . Znajdź długość łuku $E F$ .

Zacznijmy od następującej obserwacji:

$∢ F D E = 360 ° - 90 ° - 90 ° - 120 ° = 60 °$ .

Pozostaje ustalić długość promienia $F D$ . Zauważmy, że długość promienia $A B$ wynosi

$|A B| = \frac{2 π}{2 π} \cdot \frac{360 °}{120 °} = 3$ .

Długość odcinka łączącego punkty $B$ i $C$ jesteśmy w stanie obliczyć wykorzystując wiedzę z zakresu trygonometrii. Zauważmy bowiem, że promień wychodzący z punktu $A$ i prostopadły do odcinka $B C$ dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o kątach $30 °$ , $60 °$ i $90 °$ . Znajomość funkcji sin kąta $60 °$ pozwala nam zapisać:

$\frac{\frac{1}{2} |B C|}{|A B|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ,

$|B C| = 3 \sqrt{3}$ .

Zauważmy, że $∢ C B D = 90 ° - 30 ° = 60 °$ . Podobnie $∢ B C D = 60 °$ , co oznacza że trójkąt $B D C$ jest równoboczny. Wówczas $|B D| = 3 \sqrt{3}$ i korzystając z podanej w zadaniu informacji dotyczącej stosunku długości odcinków $B F$ i $F D$ mamy że

$|B D| = |F D| + |B F| = |F D| + 8 |F D| = 9 |F D|$

$3 \sqrt{3} = 9 |F D|$

$|F D| = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ostatecznie długość łuku $F E$ wynosi:

$l = 2 π \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{60 °}{360 °}$

$l = \frac{\sqrt{3}}{9} π$ .

Ćwiczenie 7

Zapisana poniżej litera “S” składa się z dwóch łuków, przy czym $∢ E B C = ∢ C A D = 150 °$ . Wiedząc, że $|A C| \cdot |B C| = 6$ oraz ${|A B|}^{2} = 25$ , znajdź całkowitą długość litery “S” (czyli łączną długość łuków $E C$ i $C D$ ).

R181LfjOiTJNl

Ilustracja przedstawią literę S zbudowaną z dwóch fragmentów okręgu. Pierwszy fragment znajduje się u góry i jest mniejszy, ma środek w punkcie A, ma ramiona A D oraz A C. Punkt D jest to górna końcówka litery S. Drugi fragment jest większy. Znajduje się pod pierwszym fragmentem. Ma środek w punkcie B oraz ramiona B C oraz B E. Punkt E to dolna końcówka litery S. Fragmenty łączą się w punkcie C. Odcinek pomiędzy środkami fragmentów okręgów A B jest prosty, przechodzi on przez punkt C.

Łuk $E C$ oparty jest na kącie środkowym o mierze $360 ° - 150 ° = 210 °$ – podobnie łuk $C D$ . Widzimy, że $|A B| = |A C| + |B C|$ . Zatem

$\{\begin{cases} {(|A C| + |B C|)}^{2} = 25 \\ |A C| \cdot |B C| = 6 \end{cases}$

Wiemy jednak, że $|A C|$ , $|B C|$ są długościami odcinków, więc są nieujemne. Zatem

$\{\begin{cases} |A C| + |B C| = 5 \\ |A C| \cdot |B C| = 6 \end{cases}$

Z pierwszego równania możemy wywnioskować, że $|A C| = 5 - |B C|$ . Wstawiając tę własność do drugiej równości uzyskujemy równanie kwadratowe opisujące długość odcinka $|B C|$ .

$(5 - |B C|) \cdot |B C| = 6$ ,

$0 = 6 - 5 |B C| + {|B C|}^{2}$ ,

$0 = (3 - |B C|) (2 - |B C|)$ .

Zatem $|B C| = 2$ (a wówczas $|A C| = 3$ ) lub $|B C| = 3$ (wtedy $|A C| = 2$ ). Treść zadania nie precyzuje, który łuk jest dłuższym, a fakt ten nie ma znaczenia dla pozostałej części zadania – przyjmujemy więc (by pozostać zgodnym z rysunkiem), że $|B C| = 3$ , zaś $|A C| = 2$ .

Długość łuku $C E$ wynosi zatem

$l = 2 π \cdot 3 \cdot \frac{210 °}{360 °} = 6 π \cdot \frac{7}{12} = \frac{21 π}{6}$

z kolei dla łuku $C D$ mamy:

$l = 2 π \cdot 2 \cdot \frac{210 °}{360 °} = 4 π \cdot \frac{7}{12} = \frac{14 π}{6}$ .

Ostatecznie otrzymujemy długość litery “S” wynosi $l = \frac{14 + 21}{6} π = 5 \frac{5}{6} π$ .

$l = \frac{14 + 21}{6} π = 5 \frac{5}{6} π$ .

Ćwiczenie 8

Domowy wiatrak składa się z trzech skrzydeł i osłaniającej oś obrotu tarczy, co obrazuje poniższy szkic.

Rwi9pDSR57kwT

Ilustracja przedstawia okrąg. Ma on środek w punkcie A. Na okręgu znajdują się trzy takie same zacieniowane wycinki oddalone w równych odległościach na okręgu. Końcówki łuku jednego wycinka oznaczono punktami B oraz C. Wewnątrz większego okręgu narysowano mniejsze zacieniowane koło o tym samym środku. Przecina ono odcinek A B w punkcie D.

Promień wewnętrznej tarczy wynosi $3 cm$ , zaś długość łuku okręgu, na którym oparte jest pojedyncze skrzydło wynosi $20 cm$ . Wiedząc, że średnica całego wiatraka wynosi $60 cm$ , oblicz pole powierzchni całego wiatraka (tj. całego zacieniowanego na rysunku obszaru).

Rozpoczynamy rozwiązywanie problemu od obliczenia pola powierzchni tarczy. Wiedząc że jej promień (na rysunku jest nim np. odcinek $A D$ ) ma długość $3 cm$ mamy:

$P_{t} = π {|A D|}^{2} = 9 π {cm}^{2}$

Dysponujemy informacją o średnicy całego wiatraka, co pozwala nam obliczyć promień koła, którego wycinkami są rozważane w zadaniu skrzydła wiatraka – wynosi on $30 cm$ . Znana jest nam też długość łuku odpowiadającego pojedynczemu skrzydłu – wynosi on $20 cm$ . Z zależności wiążącej długość łuku okręgu z kątem środkowym jesteśmy w stanie wyliczyć wartość kąta $α = ∢ B A C$ :

$20 cm = 2 π \cdot (30 cm) \cdot \frac{α}{360 °}$ ,

$\frac{1}{3 π} = \frac{α}{360 °}$ ,

$α = \frac{120 °}{π}$ .

Umożliwia nam to obliczenie powierzchni pojedynczego skrzydła – zgodnie ze wzorem otrzymujemy:

$P_{s} = π {(30 cm)}^{2} \cdot \frac{α}{360 °} = (900 π \cdot \frac{1}{3 π}) {cm}^{2} = 300 {cm}^{2}$

Mogłoby się wydawać, że wystarczy już do pola powierzchni tarczy dodać trzykrotność $P_{s}$ by otrzymać żądaną w zadaniu wielkość. Zauważmy jednak, że przy takim podejściu pewną część powierzchni tarczy uwzględnimy wówczas dwukrotnie. Musimy więc odjąć od pola powierzchni pojedynczego skrzydła tę powierzchnię, która zakrywana jest przez tarczę – wynosi ona

$P_{z} = π \cdot {(3 cm)}^{2} \cdot \frac{α}{360 °} = 3 {cm}^{2}$

Ostatecznie pole powierzchni całego wiatraka wynosi:

$P_{w} = P_{t} + 3 \cdot (P_{s} - P_{z}) = 9 π {cm}^{2} + 3 \cdot 297 {cm}^{2} = (9 π + 891) {cm}^{2}$ .

$(9 π + 891) {cm}^{2}$ .

Ćwiczenie 9

W kole zębatym powierzchnia wszystkich czterech zębów wynosi $19 π$ stanowi $5 %$ powierzchni całej zębatki. Stosunek długości zęba $|B C|$ do promienia całego koła zębatego $|A C|$ wynosi $\frac{|B C|}{|A C|} = \frac{1}{20}$ . Oblicz obwód zębatki.

R147EnHnAAnGq

Ilustracja przedstawia koło. Koło ma środek w punkcie A. Ma ono doczepione cztery identyczne zęby, czyli wycinki koła o większym promieniu wystające spod oryginalnego koła. Zęby są ustawione na krzyż, są w równych odległościach od siebie. Poprowadzono promień oryginalnego koła A B, w taki sposób, że po przedłużeniu tego odcinka wzdłuż ramienia wycinka zęba, otrzymamy punkt C, czyli A C to promień wycinka koła, z którego składa się ząb.

Informacja o tym, że $5 %$ powierzchni całej zębatki stanowią zęby pozwala nam wywnioskować, że pozostałe $95 %$ przypada na koło o promieniu $A B$ . Z proporcji możemy wywnioskować, że koło to ma pole

$P_{\circ} = \frac{95 %}{5 %} \cdot 19 π = 361 π$ .

Znajomość pola powierzchni pozwala nam obliczyć długość odcinka $A B$ – wynosi ona $19$ . Z informacji z treści zadania wnioskujemy, że

$\frac{|B C|}{|A C|} = \frac{|B C|}{|B C| + |A B|} = \frac{1}{20}$

$20 |B C| = |B C| + 19$

Zatem $|B C| = 1$ . Powierzchnia pojedynczego zęba wynosi $P_{z} = \frac{19 π}{4}$ . Pole to można obliczyć poprzez odjęcie od pola powierzchni wycinka o promieniu $A C$ analogicznego pola wycinka o promieniu $A B$ , opartego na tym samym kącie środkowym. Stąd

$P_{z} = π {|A C|}^{2} \frac{α}{360 °} - π {|A B|}^{2} \frac{α}{360 °}$

$\frac{19}{4} π = \frac{π α}{360 °} (400 - 361)$

$\frac{19}{4} = \frac{39 α}{360 °}$

Stąd $α = \frac{570 °}{13}$ jest kątem środkowym odpowiadającym pojedynczemu zębowi w kole.

Zatem łączny obwód koła zębatego jest możliwy do obliczenia jako suma czterech długości łuków odpowiadających zębom, czterech długości łuków odpowiadających odcinkom między nimi dodanych do ośmiokrotnej długości odcinka $|B C|$ .

Długość łuku odpowiadającemu pojedynczemu zębowi wynosi:

$l_{z} = 2 π \cdot 20 \cdot \frac{\frac{570 °}{13}}{360 °} = \frac{190 π}{39}$

Łączna długość łuków odpowiadających odcinkom między zębami może być obliczona poprzez odjęcie od kąta pełnego czterokrotności $α$ i obliczeniu odpowiadającej takiemu kątowi środkowemu długości łuku okręgu o promieniu $|A B|$ . Zatem

$l_{k} = 2 π \cdot 19 \cdot \frac{360 ° - 4 \cdot \frac{570 °}{13}}{360 °} = 38 π \cdot \frac{20}{39} = \frac{760 π}{39}$ .

Zatem łączny obwód całego koła zębatego wynosi

$l = 4 \cdot \frac{190 π}{39} + \frac{760 π}{39} + 8 \cdot 1 = \frac{1520 π}{39} + 8 = 38 \frac{38}{39} π + 8$

$38 \frac{38}{39} π + 8$ .

Aplet

Dla nauczyciela