Pole prostokąta $ABCD$ można wyznaczyć na podstawie znajomości długości boków $CD$ i $AD$ (drugi z tych boków ma długość $1 \mathrm{cm}$, co wynika z treści zadania). Zatem

$P_{ABCD}=5 \mathrm{cm}·1 \mathrm{cm}=5 {\mathrm{cm}}^2$.

Łatwo widać, że usunięte z prostokąta fragmenty stanowią dwie połówki koła, tj. wycinki odpowiadające kątowi półpełnemu $\alpha =180°$.

Pole powierzchni pojedynczego takiego wycinka wynosi zatem (promień każdego z odpowiednich kół wynosi $\frac{1}{2} \mathrm{cm}$).

$P_w=\frac{180°}{360°}·\pi ·{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}·\pi ·\frac{1}{4}=\frac{\pi }{8} {\mathrm{cm}}^2$

Pole szukanej figury wynosi zatem

$P=P_{ABCD}-2·P_w=5-2·\frac{\pi }{8}=5-\frac{\pi }{4} {\mathrm{cm}}^2$.

$5-\frac{\pi }{4} {\mathrm{cm}}^2$.

Niech $F$ będzie środkiem odcinka $\left|AB\right|$, zaś $E$ punktem przecięcia się łuków.

Wówczas powstały w ten sposób trójkąt $BFE$ jest prostokątny.

Oznaczmy kąt $\sphericalangle FBE$ przez $\alpha$.

RgPudVEXKr7HR

Ilustracja przedstawia kwadrat A B C D, w którym narysowano dwie ćwiartki koła. Boki kwadratu są usytuowane następująco: A B to dolna postawa, B C to pionowy prawy bok, C D to pozioma górna podstawa, A D to pionowy lewy bok. Pierwsza ćwiartka koła poprowadzona została od wierzchołka A do wierzchołka C, jest to lewa górna ćwiartka koła. Druga poprowadzona została od wierzchołka B do D, jest to prawa górna ćwiartka koła. Kolorem wyróżniono obszar ograniczony półkolami i dolną podstawą A B. Zaznaczono punkt przecięcia półkoli, jest to punkt E. Z punktu E poprowadzono w dół pionowy odcinek do punkty F znajdującego się w połowie podstawy A B. Poprowadzono ukośny odcinek B E nachylony pod kątem alfa do podstawy A B.

Zauważmy, że kosinus kąta $\alpha$ jest równy stosunkowi długości przyprostokątnej $FB$ (długość tego odcinka to połowa długości boku całego kwadratu, a więc $\left|BE\right|=2$), do długości promienia $BE$ – mającego taką samą długość jak bok kwadratu $ABCD$, czyli $4$.

$\cos \alpha =\frac{\left|FB\right|}{\left|BE\right|}=\frac{1}{2}$

Wiedząc, że kąt $\alpha$ jest kątem ostrym wnioskujemy, że $\alpha =60°$.

Zatem trójkąt $BEF$ jest charakterystycznym trójkątem, którego miary kątów wynoszą $30°$, $60°$ i $90°$.

Pamiętając zależności pomiędzy długościami boków w takim trójkącie (lub korzystając z wybranej funkcji trygonometrycznej) jesteśmy w stanie wyznaczyć długość drugiej przyprostokątnej tego trójkąta. Mamy więc $\left|FE\right|=2\sqrt{3}$.

Odcinek $\left|FE\right|$ dzieli szukany obszar na pół. Zauważmy, że lewa połowa szukanego obszaru wraz z trójkątem $BFE$ stanowi wycinek koła o kącie środkowym $\alpha =60°$ i promieniu $4$, którego pole wynosi:

$P_{\alpha }=\frac{60°}{360°}·\pi ·4^2=\frac{8}{3}\pi$.

Pole połowy szukanego obszaru (które dla uproszczenia oznaczmy przez $P_S$) jest równe polu wycinka, pomniejszonemu o pole trójkąta $BFE$, którego pole wynosi

$P_{BFE}=\frac{1}{2}·2·2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.

Ostatecznie otrzymujemy następującą równość, z której wyznaczamy szukaną wartość pola

$\frac{1}{2}{P}_S=\frac{8}{3}\pi -2\sqrt{3}$

$P_S=\frac{16}{3}\pi -4\sqrt{3}=5\frac{1}{3}\pi -4\sqrt{3}$.

$5\frac{1}{3}\pi -4\sqrt{3}$.

Znajdziemy pole zacieniowanego obszaru poprzez obliczenie różnicy pola czworokąta $ABCD$ i pola wycinka koła odpowiadającego kątowi wewnętrznemu $\sphericalangle BCD$.

Odcinek $\left|BD\right|$ dzieli czworokąt $ABCD$ na dwa trójkąty równoramienne, których pola będziemy musieli obliczyć.

Zauważmy najpierw, że trójkąt $ABC$ jest prostokątny. Ponadto, $\left|BC\right|=\left|CD\right|=r=3 \mathrm{cm}$ i $\left|AC\right|=2r=6 \mathrm{cm}$, ponieważ jest sumą promieni obydwu tych kół.

Oznaczmy środek odcinka $BD$ przez $E$.

RYUc3cbmBtNYk

Ilustracja przedstawia dwa równej wielkości okręgi styczne zewnętrznie. Lewy okrąg ma środek w punkcie A, prawy w punkcie C. W prawym okręgu poprowadzono dwa promienie B C oraz D C wyznaczające łuk oparty na kącie rozwartym. Łuk jest usytuowany po lewej stronie okręgu tak, że jego środek to punkt styczności okręgów. Ze środka pierwszego okręgu poprowadzono promienie, które przedłużono poza okrąg. Promienie te przecinają punkty znajdujące się na drugim okręgu, czyli otrzymano dwa odcinki: A B oraz A D. Ramiona kąta B A C są styczne do prawego okręgu w punktach B oraz D. Kolorem zaznaczono wycinek lewego koła o kącie ostrym B A C oraz obszar znajdujący się między okręgami i ramionami kąta. Na rysunku naniesiono poziomy odcinek A C łączący środki okręgów, pionowy odcinek B D, punkt E będący punktem przecięcia tych odcinków. Punkt E znajduje się w obszarze ograniczonym prawym okręgiem. Kąt ostry E C B opisano jako alfa. Między promieniem B C a górnym ramieniem kąta B A C oznaczono kąt prosty.

Na powyższym rysunku zaznaczony został również kąt $\sphericalangle ACB=\alpha$ – obliczmy kosinus tego kąta, wykorzystując znajomość długości odpowiednich boków trójkąta $ABC$:

$\cos \alpha =\frac{3 \mathrm{cm}}{6 \mathrm{cm}}=\frac{1}{2}$,

skąd wnioskujemy, że $\alpha =60°$.

Niech punkt $E$, będzie środkiem odcinka $\left|BD\right|$.

Trójkąt $EBC$ jest prostokątny (co wynika z faktu, że prosta zawierająca odcinek $AC$ jest osią symetrii całego rysunku). Znajomość kąta $\alpha$ pozwala nam wykorzystać funkcję sinus w celu obliczenia długości odcinka $BE$. Mamy

$\sin 60°=\frac{\left|BE\right|}{\left|BC\right|}$,

$\left|BE\right|=\sin 60°·\left|BC\right|=\frac{3\sqrt{3}}{2} \mathrm{cm}$.

Powołując się na symetrię, wnioskujemy że $\left|BD\right|=3\sqrt{3}$ – odcinek ten jest dwukrotnie dłuższy od $\left|BE\right|$.

Znajomość kąta $\alpha$ pozwala nam też obliczyć długość odcinka $CE$. Zatem

$\left|CE\right|=\cos 60°·\left|BC\right|=\frac{3}{2} \mathrm{cm}$.

Wiedza ta pozwala obliczyć nam pole trójkąta $BCD$.

$P_{BCD}=\frac{1}{2}·\left|BD\right|·\left|CE\right|=\frac{1}{2}·3\sqrt{3}·\frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4} {\mathrm{cm}}^2$

Teraz zajmiemy się polem trójkąta $ABD$.

Długość odcinka $AE$ daje się łatwo obliczyć jako różnica długości odcinków $AC$ i $CE$.

$\left|AE\right|=\left|AC\right|-\left|CE\right|=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2} \mathrm{cm}$

Pozwala nam to obliczyć pole trójkąta $ABD$:

$P_{ABD}=\frac{1}{2}·\left|BD\right|·\left|AE\right|=\frac{1}{2}·3\sqrt{3}·\frac{9}{2}=\frac{27\sqrt{3}}{4} {\mathrm{cm}}^2$.

Pole czworokąta $ABCD$ jest więc sumą pól rozpatrywanych trójkątów:

$P_{ABCD}=P_{ABD}+P_{BCD}=\frac{9\sqrt{3}}{4}+\frac{27\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3} {\mathrm{cm}}^2$.

Miara kąta $\sphericalangle BCD$ jest dwukrotnie większa od miary kąta $\alpha$ i wynosi $120°$.

Zatem pole wycinka koła o środku w punkcie $C$, opartego na tym kącie wynosi:

$P_w=\frac{120°}{360°}·\pi ·r^2=\frac{1}{3}·\pi ·3^2=3\pi {\mathrm{cm}}^2$.

Ostatecznie pole obszaru zacieniowanego wynosi:

$P=P_{ABCD}-P_w=\left(9\sqrt{3}-3\pi \right) {\mathrm{cm}}^2$.

$\left(9\sqrt{3}-3\pi \right) {\mathrm{cm}}^2$.