Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

REUr5R25Xb6bu

R3sLuP7UeKglP

Graniastosłup jest prawidłowy. Połącz nazwę kąta w graniastosłupie z jego opisem. Kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a krawędzią podstawy., 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt pomiędzy krawędziami podstawy., 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną podstawy., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątnymi ścian bocznych. Kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a krawędzią podstawy., 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt pomiędzy krawędziami podstawy., 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną podstawy., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątnymi ścian bocznych. Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a krawędzią podstawy., 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt pomiędzy krawędziami podstawy., 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną podstawy., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątnymi ścian bocznych. Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a krawędzią podstawy. Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a krawędzią podstawy., 2. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt pomiędzy krawędziami podstawy., 3. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną podstawy., 4. Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy. Zaznaczono kąt między przekątnymi ścian bocznych.

Rv6UXwWvCgJCs1

Ćwiczenie 2

Kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi graniastosłupa prawidłowego ośmiokątnego ma miarę:

$90 °$
$135 °$
$45 °$
$120 °$

Ćwiczenie 3

R1564DXPlrfxq

RM1MbYRYakeen

R1Ok83F3aQY7H2

Ćwiczenie 4

Zaznacz zdanie prawdziwe.

Kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi graniastosłupa ma miarę taką jak kąt pomiędzy przekątnymi tych ścian wychodzącymi ze wspólnego wierzchołka.
Jeżeli w podstawie graniastosłupa jest kwadrat, to kąt pomiędzy krawędzią boczną, a płaszczyzną podstawy wynosi $90 °$ .
W graniastosłupie prawidłowym kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest kątem pomiędzy przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy, która należy do tej ściany.

RN4Sk0cbq8nNt2

Ćwiczenie 5

W graniastosłupie prostym kąt pomiędzy jedną z przekątnych graniastosłupa a krawędzią boczną ma miarę $48 °$ . Jaką miarę ma kąt nachylenia tej przekątnej do podstawy?

$48 °$
$132 °$
$42 °$
$90 °$

Ćwiczenie 6

Dany jest graniastosłup pochyły pięciokątny jak na rysunku.

R1PMnSXPYfdSz

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie będącej pięciokątem i o pochyłych ścianach. Dolna podstawa to pięciokąt A B C D E. Górna podstawa ma następujące wierzchołki: nad wierzchołkiem A znajduje się wierzchołek F, nad B znajduje się G, nad C znajduje się H, nad D znajduje się I oraz nad E znajduje się J. Zaznaczono środek górnej podstawy jako punkt K oraz dwa kąty: kąt alga to kąt A F C oraz kąt beta to kąt K I C.

R7WkFcw0XmT9X

Ćwiczenie 7

Wyznacz miarę kąta pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $4$ i wysokości $3$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R8HybOY9bs9fS

Ilustracja przedstawia graniastosłup A B C D A indeks dolny 1 koniec indeksu B indeks dolny 1 koniec indeksu C indeks dolny 1 koniec indeksu D indeks dolny 1 koniec indeksu. Krawędź podstawy ma długość 4, a wysokość graniastosłupa ma miarę cztery. Zaznaczono przekątne sąsiadujących ścian bocznych oraz przekątną podstawy. Przekątne ścian bocznych tworzą pewien kąt.

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów $C D D_{1}$ i $C B B_{1}$ otrzymujemy, że

$|C D_{1}| = |C B_{1}| = 5$ .

Odcinek $B_{1} D_{1}$ jest przekątną kwadratu, czyli

$|B_{1} D_{1}| = 4 \sqrt{2}$ .

Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta $C D_{1} B_{1}$ , mamy:

${(4 \sqrt{2})}^{2} = 5^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cos (∢ B_{1} C D_{1})$ , a stąd

$50 \cos (∢ B_{1} C D_{1}) = 18$ i ostatecznie:

$\cos (∢ B_{1} C D_{1}) = 0, 36$ .

Odczytując z tablic wartości trygonometrycznych, otrzymujemy, że kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych w tym graniastosłupie ma miarę około $69 °$ .

Ćwiczenie 8

W graniastosłupie pochyłym o podstawie rombu (rysunek) wysokość bryły wynosi
$4$ , przekątna podstawy $B D$ ma długość $8$ , a krawędź podstawy $5$ . Przekątna $E C$ tego graniastosłupa ma długość $4$ . Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy w tym graniastosłupie.

RCys96FW3eBd0

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły A B C D E F G H o podstawie rombu.

Zauważmy, że przekątna $E C$ graniastosłupa ma długość taką, jak wysokość tego graniastosłupa, czyli jest również jego wysokością.

Zauważmy, że trójkąt w podstawie, którego bokami są połowy przekątnych podstawy i krawędź podstawy jest trójkątem pitagorejskim o bokach: $3, 4, 5$ , a zatem

$|A C| = 6$ .

Uzupełnijmy rysunek o dane, które już mamy.

ROhXSZjhCwnd6

Ilustracja przedstawia graniastosłup pochyły A B C D E F G H o podstawie rombu. Zaznaczono przekątną podstawy równą sześć oraz wysokość graniastosłupa równą cztery. Kąt między ścianą boczną a podstawą ma miarę alfa.

Szukamy cosinusa kąta $α$ .

Trójkąt $A C E$ jest prostokątny, więc wystarczy zastosować definicję cosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Obliczmy najpierw długość krawędzi bocznej w tym graniastosłupie. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

${|A E|}^{2} = 6^{2} + 4^{2}$ , a stąd

$|A E| = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ , a zatem

$\cos α = \frac{6}{2 \sqrt{13}} = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ .

Aplet

Dla nauczyciela