1. Stanowi treść aksjomatu 3.

2. Wybieramy dwa różne punkty na prostej i na mocy aksjomatu 3 prowadzimy płaszczyznę przez te dwa punkty i punkt, który nie leży na tej prostej. Z aksjomatu 5 cała prosta leży na tej płaszczyźnie.

3. Wybieramy jedną prostą i punkt leżący na drugiej prostej. Możemy wtedy wyznaczyć jednoznacznie płaszczyznę przechodzącą przez tę prostą i wybrany punkt. Na mocy aksjomatu równoległości w tej płaszczyźnie leży druga prosta.

4. Wybieramy punkt przecięcia prostych i po punkcie na każdej z prostych (różnym od punktu przecięcia). Na mocy aksjomatu 3 prowadzimy płaszczyznę przez te dwa punkty oraz punkt, który nie leży na tej prostej. Z aksjomatu 5 obie proste leżą na tej płaszczyźnie.

Popatrzmy na poniższy rysunek.

RBFiAC3VCeMhO

Na rysunki, zaznaczono punkt E, będący środkiem krawędzi $AA\text{'}$, oraz punkt F, będący środkiem krawędzi $CC\text{'}$. Zaznaczono płaszczyznę $EFJK$. Prosta $KJ$ i $AC\text{'}$ przecinają się w punkcie S, leżącym na płaszczyźnie.

Pokażemy, że proste $KJ$ i $AC\text{'}$ przecinają się w punkcie $S$. Niech $\pi$ oznacza płaszczyznę równoległą do podstawy $ABCD$ przechodzącą przez punkty $K$, $J$. Płaszczyzna ta dzieli krawędzie w połowie (punkty $E$, $F$, $K$, $J$) a przekrój $EFKJ$ sześcianu tą płaszczyzną jest kwadratem przystającym do $ABCD$.

Płaszczyzna $\pi$ dzieli przekątną sześcianu w połowie, a to znaczy, że odcinek $SF$ jest linią środkową trójkąta $ACC\text{'}$ i z własności tej linii wynika, że $\left|SF\right|$ jest równa połowie długości przekątnej $AC$ kwadratu $ABCD$. Stąd punkt $S$ jest punktem przecięcia przekątnych $KJ$ i $EF$. Ostatecznie, punkt $S$ jest punktem przecięcia $KJ$ i $AC\text{'}$. Ponieważ proste $KJ$ i $AC\text{'}$ przecinają się, to leżą w jednej płaszczyźnie, a to dowodzi, że punkty $A$, $J$, $C\text{'}$, $K$ leżą na jednej płaszczyźnie.

Załóżmy, że prosta $k$ jest równoległa do $l$. Jeśli $k$ przebija płaszczyznę $\pi$ w punkcie $A$, który leży na prostej $k$, to z aksjomatu równoległości wynika, że $k$ jest równa prostej równoległej do prostej $l$ poprowadzonej przez $A$. Stąd $k$ leży na płaszczyźnie $\pi$. Zatem prosta $k$ leży na płaszczyźnie $\pi$ lub nie ma punktów wspólnych z $\pi$, czyli jest równoległa do $\pi$.

1. $\pi$ jest równa jednej z danych płaszczyzn.

2. $\pi$ zawiera prostą $l$. Wtedy $\pi$ należy do pęku płaszczyzn wyznaczonego przez ${\pi }_1$ i ${\pi }_2$.

3. $l$ przebija płaszczyznę $\pi$. Wtedy wszystkie trzy płaszczyzny mają jeden punkt wspólny.

4. $\pi$ jest równoległa do jednej z płaszczyzn. Wówczas ma krawędź wspólną z drugą płaszczyzną. Obie krawędzie są równoległe do siebie.

   R1a0lL0r4gkFf

   Na ilustracji przedstawiono dwie równoległe do siebie płaszczyzny. Na obu płaszczyznach, zaznaczono równoległe do siebie proste, leżące na trzeciej płaszczyźnie.

   

5. $\pi$ przecina ${\pi }_1$ i ${\pi }_2$ wzdłuż różnych krawędzi. Wtedy wszystkie trzy krawędzie są parami równoległe do siebie.

   R1Xtjc36myOCL

   Na ilustracji przedstawiono trzy przecinające się płaszczyzny. Płaszczyznę poziomą, pionową ukośną, przecinającą dwie pozostałe. Poprowadzono trzy równoległe do siebie proste, w miejscach przecięcia się płaszczyzn.