Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

RGfy68p8zmgzS1

Ćwiczenie 1

R145RCvhcJFT71

Ćwiczenie 2

RFsEWYlqpQXop2

Ćwiczenie 3

Ciąg

(16, x, 9)

jest geometryczny o wyrazach dodatnich. Uzupełnij obliczenia prowadzące do wyznaczenia wzoru rekurencyjnego ciągu. Wpisz odpowiednie liczby. Ciąg jest geometryczny, zatem

x^{2} =

Tu uzupełnij

\Rightarrow x =

Tu uzupełnij lub

x =

Tu uzupełnij – nie spełnia warunków zadania Wyznaczamy iloraz ciągu.

q = 12 : 16 =

Tu uzupełnij

:

Tu uzupełnij Zapisujemy wzór rekurencyjny ciągu.

a_{1} =

Tu uzupełnij i

a_{n + 1} = (

Tu uzupełnij

:

Tu uzupełnij

) \cdot a_{n}

R1WPBziPLfgKu2

Ćwiczenie 4

Dostępne opcje do wyboru:

64 a_{n}

4

1

4 a_{n}

8

16

16 a_{n}

. Polecenie: Długości

a_{1}

a_{2}

a_{3}

krawędzi prostopadłościanu o objętości

64

tworzą ciąg geometryczny. Suma długości tych krawędzi jest równa

21

. Oblicz długości krawędzi tego prostopadłościanu i uzupełnij wzór rekurencyjny ciągu, utworzonego przez długości tych krawędzi. Przeciągnij odpowiednie liczby lub wyrażenia.

a_{1} =

luka do uzupełnienia i

a_{n + 1} =

luka do uzupełnienia , gdzie

n = 1, 2

R1EoG378yCmyZ2

Ćwiczenie 5

RZHkXKkHYCsXv2

Ćwiczenie 6

Połącz w pary wyrazy ciągu geometrycznego i wzór ciągu zapisany w postaci rekurencyjnej.

1, 3, 9, 27, 81, 243, . . .

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} a_{1} = \sqrt{2} \\ a_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot a_{n} \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = 3 \cdot a_{n} \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} a_{1} = 64 \\ a_{n + 1} = 0, 5 \cdot a_{n} \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} a_{1} = - 2 \\ a_{n + 1} = - 5 \cdot a_{n} \end{cases}

64, 32, 16, 8, . . .

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} a_{1} = \sqrt{2} \\ a_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot a_{n} \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = 3 \cdot a_{n} \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} a_{1} = 64 \\ a_{n + 1} = 0, 5 \cdot a_{n} \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} a_{1} = - 2 \\ a_{n + 1} = - 5 \cdot a_{n} \end{cases}

\sqrt{2}, 1, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}, . . .

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} a_{1} = \sqrt{2} \\ a_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot a_{n} \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = 3 \cdot a_{n} \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} a_{1} = 64 \\ a_{n + 1} = 0, 5 \cdot a_{n} \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} a_{1} = - 2 \\ a_{n + 1} = - 5 \cdot a_{n} \end{cases}

- 2, 10, - 50, 250, . . .

Możliwe odpowiedzi: 1.

\{\begin{cases} a_{1} = \sqrt{2} \\ a_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot a_{n} \end{cases}

, 2.

\{\begin{cases} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = 3 \cdot a_{n} \end{cases}

, 3.

\{\begin{cases} a_{1} = 64 \\ a_{n + 1} = 0, 5 \cdot a_{n} \end{cases}

, 4.

\{\begin{cases} a_{1} = - 2 \\ a_{n + 1} = - 5 \cdot a_{n} \end{cases}

Ćwiczenie 7

Zapisz wzór ogólny ciągu geometrycznego $(a_{n})$ o wyrazach dodatnich, określonego następującym wzorem rekurencyjnym:

$\{\begin{cases} a_{1} = 2 \\ a_{2} = m \\ \frac{a_{n + 2}}{2} = 8 a_{n} \end{cases}$ , gdzie $n = 2$ , $3$ , $4$ , $. . .$

Ciąg jest geometrycznym wiec $a_{n + 2} = q^{2} \cdot a_{n}$ .

Ze wzoru rekurencyjnego otrzymujemy: $a_{n + 2} = 16 a_{n}$ .

Pozrównujemy otrzymane wyrazy $a_{n + 2}$ .

$q^{2} \cdot a_{n} = 16 a_{n}$

Ponieważ $a_{1} > 0$ i ciąg ma mieć wyrazy dodatnie, więc żaden wyraz ciągu nie może być równy $0$ .

Dzielimy obie strony równania przez $a_{n}$ i wyznaczamy $q > 0$ .

$q^{2} \cdot a_{n} = 16 a_{n} | : a_{n}$

$q^{2} = 16$

$q = 4$ lub $q = - 4$ – nie spełnia warunków zadania.

Zapisujemy wzór rekurencyjny i wzór ogólny.

$\{\begin{cases} a_{1} = 2 \\ a_{2} = 8 \\ \frac{a_{n + 2}}{2} = 8 a_{n} \end{cases}$ , gdzie $n = 2$ , $3$ , $4$ , $. . .$

$a_{n} = 2 \cdot 4^{n - 1}$ , gdzie $n = 1$ , $2$ , $3$ , $. . .$

Ćwiczenie 8

Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi $62$ . Różnica wyrazów trzeciego i drugiego jest pięć razy większa od różnicy wyrazów drugiego i pierwszego. Zapisz wzór rekurencyjny tego ciągu.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$q$ – iloraz ciągu.

Na podstawie treści zadania zapisujemy układ równań.

$\{\begin{cases} a + a q + a q^{2} = 62 \\ a q^{2} - a q = 5 \cdot (a q - a) \end{cases}$

Przekształcamy drugie z równań układu.

$a q^{2} - a q = 5 \cdot (a q - a)$

$a q (q - 1) = 5 a (q - 1)$

Dzielimy obie strony równania przez $a$ ( $a \neq 0$ , bo suma kolejnych wyrazów jest różna od $0$ ).

$q (q - 1) = 5 \cdot (q - 1)$

Po prawej i po lewej stronie równania stoi to samo wyrażenie.

Chcemy podzielić obie strony przez $q - 1$ .

Rozpatrujemy dwa przypadki.

Przypadek $q = 1$ . Wtedy wszystkie wyrazy ciągu są równe $a$ .
$3 a = 62 \Rightarrow a = \frac{62}{3}$
Przypadek $q \neq 1$ .
$q (q - 1) = 5 \cdot (q - 1) | : (q - 1)$
$q = 5$

Wyznaczamy pierwszy wyraz ciągu.

$a + a q + a q^{2} = 62$

$a + 5 a + 25 a = 62$

$31 a = 62$

$a = 2$

Otrzymujemy dwa ciągi określone poniższymi wzorami. W przypadku pierwszego ciągu różnice między kolejnymi wyrazami są równe, zatem nie jest spełniony warunek, że różnica między wyrazem trzecim i drugim jest pięciokrotnie większa niż różnica między wyrazem drugim a pierwszym. Zatem tylko drugi z tych ciągów spełnia warunki zadania.

$\{\begin{cases} a_{1} = 20 \frac{2}{3} \\ a_{n + 1} = a_{n} \end{cases}$ , ${\begin{cases} a_{1} = 2 \\ a_{n + 1} = 5 \cdot a_{n} \end{cases}$ , gdzie $n = 1$ , $2$ , $3$ , $. . .$

Film samouczek

Dla nauczyciela