Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Rq7L7puhfToqf

Obwód koła o polu $24 π$ wynosi:

$4 \sqrt{6} π$
$2 \sqrt{6} π$
$8 π$

Ćwiczenie 2

Na rysunku przedstawiono pierścień kołowy.

RFx7X4gIbZZkL

Ilustracja przedstawia pierścień. Promień większego koła ma promień o długości 10, a szerokość pierścienia (czyli odległość między brzegami kół) wynosi cztery.

Rug12FwGTEp9Z

Korzystając z rysunku, wstaw w tekst odpowiednie liczby.

$6$ , $64$ , $100$ , $4$ , $36$ , $10$

Promień mniejszego koła jest równy .............
Pole mniejszego koła wynosi ............ $π$ .
Pole pierścienia kołowego jest równe ............ $π$ .

Ćwiczenie 3

R1B53rfYpJFnV

Połącz w pary pole koła z odpowiadającym mu obwodem.

$P = \frac{25}{49} π$
$P = 0, 01 π$
$P = 1, 44 π$
$P = \frac{1}{25} π$

Ćwiczenie 4

R1Mey3Or1dMQn

Uzupełnij wartości obwodów i pól kół dla podanych długości promieni.

1) $r = 12$
$l =$ ............ $π$
$P =$ ............ $π$
2) $r = 36$
$l =$ ............ $π$
$P =$ ............ $π$
3) $r = 40$
$l =$ ............ $π$
$P =$ ............ $π$
4) $r = 69$
$l =$ ............ $π$
$P =$ ............ $π$

Ćwiczenie 5

R4aGzSXydgdfx

Jeżeli promień koła zmniejszymy dwukrotnie, to:

jego obwód zmaleje $2$ razy.
pole koła po zmniejszeniu promienia będzie stanowiło $50 %$ pola koła wyjściowego.
stosunek obwodów tych kół będzie wynosić $4 : 1$ .
jego pole zmaleje $4$ razy.

Ćwiczenie 6

Na rysunku dane są $4$ koła. Największe koło ma promień o długości $r$ , a długość promienia każdego następnego koła jest $2$ razy krótsza od długości promienia poprzedniego koła. Wiemy, że suma pól tych kół wynosi $\frac{85}{64} π$ . Wyznacz długość promienia najmniejszego koła.

R1ZRlS1nmE1xU

Ilustracja przedstawia cztery koła osadzone na jednej prostej. Od lewej mamy największe koło, każde kolejne jest coraz mniejsze.

Korzystając z warunków podanych w zadaniu, wprowadźmy następujące oznaczenia:

$r_{1} = r$

$r_{2} = \frac{1}{2} r$

$r_{3} = \frac{1}{4} r$

$r_{4} = \frac{1}{8} r$

Pola tych kół możemy odpowiednio zapisać za pomocą wzorów:

$P_{1} = π \cdot r^{2}$

$P_{2} = π \cdot {(\frac{1}{2} r)}^{2} = \frac{1}{4} π \cdot r^{2}$

$P_{3} = π \cdot {(\frac{1}{4} r)}^{2} = \frac{1}{16} π \cdot r^{2}$

$P_{4} = π \cdot {(\frac{1}{8} r)}^{2} = \frac{1}{64} π \cdot r^{2}$

Zapiszemy równanie na sumę tych pól:

$π \cdot r^{2} + π \cdot \frac{1}{4} r^{2} + π \cdot \frac{1}{16} r^{2} + \frac{1}{64} π \cdot r^{2} = \frac{85}{64} π$

$π \cdot r^{2} \cdot \frac{85}{64} = \frac{85}{64} π$ , więc $r = 1$ .

Promień najmniejszego koła ma długość:

$\frac{1}{8} \cdot r = \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8}$

Ćwiczenie 7

R1tlNTI112Shb

Rozwiąż krzyżówkę.

Odcinek w kole łączący środek koła z dowolnym punktem na jego brzegu.
Zbiór punktów odległych o nie więcej niż ustaloną odległość od pewnego punktu.
Nazwa stałej równej stosunkowi obwodu koła do długości jego średnicy.
Odcinek łączący dwa dowolne punkty, które leżą na brzegu koła, przechodzący przez jego środek.

1
2
3
4

R1HkKLeAHi5eE

Ćwiczenie 8

W pierścieniu kołowym z rysunku, cięciwa większego koła ma długość $12$ i jest styczna do mniejszego koła. Uzasadnij, że pole pierścienia można wyrazić bez użycia długości promieni wyznaczających go kół.

RybKxfHqF0xCP

Ilustracja przedstawia pierścień, w którym wykreślono cięciwę łączącą dwa punktu większego koła. Cięciwa ta ma długość 12 i znajduje się całkowicie wewnątrz pierścienia. Jest styczna do małego koła.

Narysujmy promienie tych kół i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RFm4382pfx3QP

Ilustracja przedstawia pierścień, w którym wykreślono cięciwę większego koła znajdującą się całkowicie wewnątrz pierścienia. Cięciwa ma długość 12 i jest styczna do małego koła. W małym kole poprowadzono promień do punktu styczności z cięciwą i zaznaczono między promieniem a cięciwą kąt prosty. Wykreślono promień dużego koła, który domyka trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne to promień małego koła i połowa cięciwy, a przeciwprostokątna to promień dużego koła.

Wykorzystamy własność, że styczna do koła jest prostopadła do promienia w punkcie styczności.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, mamy:

$r^{2} + 6^{2} = R^{2}$ , czyli $36 = R^{2} - r^{2}$ .

Pole $P$ pierścienia kołowego z rysunku obliczymy ze wzoru $P = π \cdot R^{2} - π \cdot r^{2}$ .

Po przekształceniu wyrażenie to zapisujemy w postaci:

$P = π \cdot (R^{2} - r^{2}) = 36 π$ .

Zatem, bez wyznaczania długości promieni, otrzymaliśmy pole pierścienia kołowego z rysunku.

Gra edukacyjna

Dla nauczyciela