Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1V0PwWr92I0M

Ćwiczenie 1

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, jeśli jego przekrój pionowy jest trójkątem o podstawie o długości równej długości krawędzi kwadratowej podstawy bryły i trójkąt posiada wspólny górny wierzchołek z bryłą. Przekrój ma podstawę o długości $18$ i ramiona o długości $11$ każde.

Zaczniemy od zapisania wzoru na objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.

$V = P_{p} \cdot H$ , gdzie $P_{p}$ oznacza pole podstawy bryły, a $H$ jej wysokość.

Potrzebujemy zatem znaleźć wysokość bryły.

Z treści zadania wiemy, że wierzchołek górny trójkąta pokrywa się z wierzchołkiem górnym ostrosłupa, zatem mają one równe wysokości. Upuszczając wysokość $H$ , dzielimy trójkąt na dwa identyczne trójkąty prostokątne o podstawie równej $9$ . Z tak otrzymanego trójkąta prostokątnego obliczymy wysokość, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

$H^{2} + 9^{2} = 11^{2}$

$H^{2} = 11^{2} - 9^{2}$

$H = \sqrt{11^{2} - 9^{2}}$

$H = \sqrt{121 - 81}$

$H = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$

Mając wysokość, podstawiamy dane do początkowego wzoru i otrzymujemy objętość.

$V = 18^{2} \cdot 2 \sqrt{10} = 324 \cdot 2 \sqrt{10} = 648 \sqrt{10}$

Ćwiczenie 2

Przyjrzyj się rysunkowi i uzupełnij zdania. Przeciągnij odpowiednie słowa.

RQIJKAnN0OGot

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny z przekrojem ukośnym. Ostrosłup ma krawędź boczną o długości b i krawędź podstawy o długości a. Przekrój bryły jest trójkątem rozpiętym na odcinku łączącym dwie krawędzie podstawy, które mają wspólny wierzchołek. Odcinek ten jest równoległy do przekątnej podstawy, ale jest krótszy. Łączy on środki dwóch wspomnianych krawędzi podstawy. Górny wierzchołek trójkąta znajduje się na przeciwległej krawędzi bocznej i dzieli ją na pół.

RTc97Us7pvD37

Ćwiczenie 3

RLiUq79aTnPxm

Ćwiczenie 3

Oblicz pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, jeżli jego przekrojem pionowym opartym na przekątnej kwadratowej podstawy jest trójkąt prostokątny równoramienny. Przekątna podstawy ma długość $2 \sqrt{2}$ , wysokość bryły wynosi $\sqrt{2}$ .

Najpierw ustalmy, co jest nam potrzebne do obliczenia pola powierzchni ostrosłupa. Skorzystamy z poniższego wzoru.

$P_{c} = P_{p} + P_{b}$ ,

gdzie $P_{c}$ oznacza pole całkowite, $P_{p}$ oznacza pole podstawy, a $P_{b}$ oznacza pole boczne.

Zapiszmy rozwiniętą wersję wzoru na pole całkowite bryły.

$P_{c} = a^{2} + 4 \cdot (\frac{1}{2} a h) = a^{2} + 2 a h$ ,

gdzie $a$ jest krawędzią podstawy ostrosłupa.

Potrzebujemy więc obliczyć wysokość ścian $h$ oraz krawędź podstawy $a$ .

Długość krawędzi podstawy możemy wywnioskować z treści zadania. Skoro podstawa jest kwadratem, a jej przekątna wynosi $2 \sqrt{2}$ , to mamy, że $a = 2$ .

Teraz przystąpimy do obliczenia wysokości ściany bocznej. Najpierw zauważmy, że przekrojem pionowym bryły jest trójkąt prostokątny. Wiemy zatem, że przy wierzchołku górnym ostrosłupa znajduje się kąt prosty. Dzieląc przekrój na pół wysokością ostrosłupa, otrzymamy dwa trójkąty prostokątne równoramienne o kątach: $45 °, 45 °, 90 °$ . Zatem przyprostokątne w nowym trójkącie są równej długości i wynoszą one $\sqrt{2}$ . Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość krawędzi bocznej, którą oznaczmy jako $c$ .

${(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} = c^{2}$

$c^{2} = 2 + 2 = 4$

$c = \sqrt{4} = 2$

Mamy teraz długości dwóch boków połowy trójkąta budującego ścianę boczną ostrosłupa. Jeśli bowiem z górnego wierzchołka bryły upuścimy wysokość ściany, to podzieli się ona na dwa równe trójkąty prostokątne. Zaznaczmy, że dzieje się tak dlatego, że ściany bryły są trójkątami równoramiennymi. Mamy zatem w trójkącie będącym połową ściany bocznej poziomą przyprostokątną o długości połowy krawędzi podstawy bryły, czyli o długości $1$ . Mamy także długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, która jest krawędzią ściany bocznej. Jej długość wynosi $2$ . Obliczamy więc z twierdzenia Pitagorasa drugą przyprostokątną oznaczoną jako $h$ .

$h^{2} + 1^{2} = 2^{2}$

$h^{2} = 2^{2} - 1^{2}$

$h^{2} = 4 - 1 = 3$

$h = \sqrt{3}$

Zatem wysokość ściany bocznej ostrosłupa wynosi $\sqrt{3}$ .

Podstawiając wyliczone długości, otrzymujemy szukane pole powierzchni bryły.

$P_{c} = a^{2} + 2 a h$

$P_{c} = 2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4 + 4 \sqrt{3}$

$P_{c} = 4 + 4 \sqrt{3}$

R1Vlj8fX9B5Jk2

Ćwiczenie 4

RM9U124pPeeo82

Ćwiczenie 5

RdQIRMBZ1KBsU2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego $A B C D S$ ma długość $a$ . Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem $2 α$ . Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy i dzieli na połowy kąt pomiędzy ścianą boczną i podstawą. Oblicz pole powstałego przekroju tego ostrosłupa.

Wykonajmy rysunek pomocniczy

R1N31y7Qp1Mmj

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny z przekrojem pionowym. Ostrosłup określony jest wierzchołkami podstawy ABCD i z wierzchołkiem górnym S. Ilustracja przedstawia przekrój ukośny bryły, który jest trapezem równoramiennym ABGH, przy czym wierzchołek G leży na bocznej krawędzi CS, a wierzchołek H leży na bocznej krawędzi DS. Trapez nachylony jest do podstawy bryły pod kątem α. Dodatkowo rysunek przedstawia pionowy przekrój tego ostrosłupa. Jest to trójkąt EFS, przy czym jego wierzchołek E leży na krawędzi podstawy AB i dzieli ją na pół. Analogicznie wierzchołek trójkąta F leży na przeciwległej krawędzi podstawy, czyli na krawędzi CD i dzieli ją na pół. Kąty przy wierzchołkach E oraz F wynoszą 2α. Z wierzchołka S została upuszczona wysokość bryły na punkt O. Zaznaczono także wysokość trapezu, dzieląc go wzdłuż na pół. Wysokość ta to odcinek EI, przy czym punkt I leży na boku FS trójkąta.

Przekrój opisany w zadaniu jest trapez równoramienny $A B G H$ .

$H$ i $G$ są punktami leżącymi na krawędziach $S D$ i $C S$ odpowiednio. Punkt $I$ jest środkiem odcinka $H G$ , punkt $E$ jest środkiem odcinka $A B$ . Odcinek $E I$ jest wysokością przekroju, który jest nachylony do płaszczyzny podstawy pod kątem $α$ .

Wprowadźmy oznaczenia:

$|S E| = |S F| = h$

$|I F| = x$

$|H G| = b$

$|E I| = h_{p}$ .

Zapisujemy równanie wykorzystując twierdzenie sinusów dla trójkąta $I E F$ :

\frac{h_{p}}{\sin 2 α} = \frac{a}{\sin (180 ° - 3 α)}

Korzystając ze wzorów redukcyjnych $\sin (180 ° - 3 α) = \sin 3 α$ otrzymujemy

h_{p} = \frac{a \sin 2 α}{\sin 3 α}

Ponadto:

\frac{x}{\sin α} = \frac{a}{\sin (180 ° - 3 α)}

x = \frac{a \sin α}{\sin 3 α}

Trójkąt $S O F$ jest prostokątny, więc korzystając z funkcji cosinus mamy:

\frac{\frac{1}{2} a}{h} = \cos 2 α

h = \frac{a}{2 \cos 2 α}

Trójkąty $S H G$ i $S D C$ są podobne ( $k k k$ ). Zatem możemy ułożyć proporcję:

\frac{h}{h - x} = \frac{a}{b}

b = \frac{a (h - x)}{h}

b = \frac{a (\frac{a}{2 \cos 2 α} - \frac{a \sin α}{\sin 3 α})}{\frac{a}{2 \cos 2 α}} = a (\frac{\sin 3 α - 2 \sin α \cos 2 α}{2 \cos 2 α \sin 3 α} \cdot \frac{2 \cos 2 α}{1}) = a (1 - \frac{2 \sin α \cos 2 α}{\sin 3 α})

Możemy obliczyć więc pole przekroju naszego ostrosłupa, czyli pole trapezu:

P = \frac{(a + b)}{2} h_{p}

P = \frac{1}{2} (a + a - \frac{2 a \sin α \cos 2 α}{\sin 3 α}) \cdot \frac{a \sin 2 α}{\sin 3 α}

P = (a - \frac{a \sin α \cos 2 α}{\sin 3 α}) \cdot \frac{a \sin 2 α}{\sin 3 α} = a (1 - \frac{\sin α \cos 2 α}{\sin 3 α}) \cdot \frac{a \sin 2 α}{\sin 3 α}

P = \frac{a^{2} \sin 2 α}{\sin 3 α} (1 - \frac{\sin α \cos 2 α}{\sin 3 α})

$P = \frac{a^{2} \sin 2 α}{\sin 3 α} (1 - \frac{\sin α \cos 2 α}{\sin 3 α})$

Ćwiczenie 8

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $a$ , zaś jego krawędź boczna jest dwa razy dłuższa. Wyznacz najmniejsze możliwe pole przekroju tego ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy.

Aby pole przekroju było najmniejsze, to długość wysokości trójkąta, który jest przekrojem naszego ostrosłupa musi być najmniejsza. Zatem wysokość przekroju musi być prostopadła do krawędzi bocznej ostrosłupa. Wykonajmy rysunek pomocniczy.

RRXGGC1RrUjm1

Na rysunku przedstawiono ostrosłup prawidłowy czworokątny z przekrojem ukośnym. Ostrosłup określony jest wierzchołkami podstawy ABCD i wierzchołkiem górnym S. Krawędź podstawy ma długość a, natomiast krawędź boczna 2a. Ilustracja przedstawia przekrój ukośny bryły, który jest trójkątem DBE, przy czym jego wierzchołek E leży na krawędzi ścian CS. Z wierzchołka S upuszczono wysokość bryły na punkt O i zaznaczono trójkąt prostokątny SOC. Poza tym zaznaczono jeszcze dwa trójkąty prostokątne: pierwszy jest połową ukośnego przekroju ostrosłupa i jest to trójkąt OBE, gdzie kąt prosty znajduje się przy wierzchołku O. Drugi trójkąt to trójkąt OCE, gdzie kąt prosty znajduje się przy wierzchołku E.

Obliczmy wysokość naszego ostrosłupa. Trójkąt $S O C$ jest prostokątny, więc na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy:

${|S O|}^{2} = {|S C|}^{2} - {|O C|}^{2}$

${|S O|}^{2} = {(2 a)}^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}$

${|S O|}^{2} = {4 a}^{2} - {\frac{1}{2} a}^{2}$

${|S O|}^{2} = {\frac{7}{2} a}^{2}$

$|S O| = \frac{a \sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{a \sqrt{14}}{2}$ .

Trójkąty $S O C$ i $E O C$ są podobne ( $k k k$ ). Możemy więc ułożyć proporcję:

$\frac{|O E|}{|O C|} = \frac{|S O|}{|S C|}$ .

Zatem

$\frac{|O E|}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{a \sqrt{14}}{2}}{2 a}$

$|O E| = \frac{\frac{a^{2} \sqrt{28}}{4}}{2 a} = \frac{\frac{2 a \sqrt{7}}{4}}{2} = \frac{a \sqrt{7}}{4}$

Możemy więc obliczyć pole naszego przekroju:

$P = \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{2} \cdot \frac{a \sqrt{7}}{4} = \frac{a^{2} \sqrt{14}}{8}$

$P = \frac{a^{2} \sqrt{14}}{8}$

Aplet

Dla nauczyciela