Przypomnij sobie, jak działa siła elektryczna, a jak siła magnetyczna, na dodatni ładunek.

Najpierw wyjaśnimy, dlaczego wiatraczek będzie działał jako czujnik wirowości pola elektrycznego. W przypadku pola elektrycznego, na dodatnie ładunki działa siła zgodnie z kierunkiem i zwrotem wektora $\overrightarrow{E}$. W przypadku tak skierowanych wektorów siły, jak w przypadku zobrazowanego pola, wirowanie wiatraczka będzie najszybsze (siły działają na łopatki stycznie do okręgu). Gdyby wektory $\overrightarrow{E}$ skierowane były pod pewnym kątem do stycznej do okręgu, to wirowanie wiatraczka przy tej samej wartości pola elektrycznego byłoby słabsze. A przy ustawieniu radialnym wektorów $\overrightarrow{E}$ wirowanie byłoby niemożliwe. Krążenie pola elektrycznego byłoby wtedy równe zeru.

W polu magnetycznym wiatraczek nie obracałby się, ponieważ siła magnetyczna nie działa na spoczywający ładunek. Nawet, gdyby wprawić w ruch wiatraczek tak, aby nadać jakąś prędkość ładunkom, to siła na ładunki nie działałaby, ponieważ kąt między wektorem indukcji $\overrightarrow{B}$ i wektorem prędkości ładunku byłby równy zeru. (Przypomnij sobie, od czego zależy wartość siły Lorentza.)

Zarówno w przypadku pola przedstawionego na rysunku „a”, jak i „b”, górny i dolny odcinek krzywej (prostokąta) nie wniesie przyczynków do krążenia – brak pola stycznego do krzywej.

Dla prawych boków prostokąta przyczynki będą dodatnie, dla lewych boków – ujemne. Ale o ile w przypadku „a” te przyczynki zniosą się przy dodawaniu (boki są równe i wartości indukcji $B$ też), to w przypadku „b” przeważy dodatni przyczynek (indukcja z prawej strony ma większą wartość niż z lewej). W efekcie otrzymamy dodatnie krążenie pola wektorowego.

Skorzystamy tu z symetrii pola. Dolna linia pola, na której położony jest fragment zielonej krzywej, jest lustrzanym odbiciem górnej (wraz z fragmentem krzywej). Pole nie jest tam jednorodne, ale tak samo zmienia się wzdłuż górnej i dolnej krzywej. Wobec tego każdy mały przyczynek do krążenia na górnym fragmencie krzywej będzie miał swój ujemny odpowiednik na dolnym. Te przyczynki będą się parami znosiły w rachunku całkowitego krążenia. Na fragmentach krzywych prostopadłych do linii pola nie mamy żadnego wkładu do krążenia. Zatem całkowite krążenie będzie równe zeru. Pole jest bezwirowe.

Zastosuj definicję krążenia.

Wyjaśnieniem może być rysunek Rys. c., na którym uwidoczniono oba pola wektorowe. Widoczne jest, że szare wektory (tworzące pole „a”) są krótsze od składowych stycznych $\overrightarrow{E_s}$ czerwonych wektorów $\overrightarrow{E}$ tworzących pole „b”. A krążenie jest zdefiniowane jako suma iloczynów składowych wektorów pola wzdłuż krzywej i wektorów $\overrightarrow{\Delta l}$. Dlatego krążenie pola elektrycznego w przypadku „b” ma większą wartość niż w „a”.

R16XrD56rsc25

Rysunek przedstawia okrąg narysowany czarną linią z zaznaczonymi czerwonymi strzałkami opisującymi wektory natężenia pola elektrycznego wielka litera E. Wektorów jest osiem, nie są styczne ani prostopadłe do okręgu, a pochylone na zewnątrz okręgu. Ich początki znajdują się na okręgu. Ich długości są równe. W punktach na okręgu z których wychodzą wektory natężenia pola elektrycznego pokazano również narysowane szarymi krótszymi strzałkami, wektory styczne do okręgu. Wzdłuż jednego z szarych wektorów narysowana kolejną czerwoną strzałkę styczną do okręgu i opisaną jako natężenia pola elektrycznego styczne wielka litera E z indeksem dolnym mała litera s. Z tego samego punktu wychodzi wektor prostopadły do okręgu i skierowany na zewnątrz, pokazany również w postaci czerwonej strzałki. Opisuje on natężenie pola elektrycznego wielka litera E z indeksem dolnym r. Odpowiadający im wektor natężenia wielka litera E jest wynikiem dodania wektorów stycznego i prostopadłego do okręgu.

Warunkiem bezwirowości pola jest odpowiednie zmniejszanie się wartości indukcji $B$ w miarę zwiększania odległości od środka okręgów wzdłuż których leżą wektory $\overrightarrow{B}$. Na rysunku obok dorysowano krzywą „łatwego” obliczania krążenia. Jak widzimy, wektory pola są prostopadłe do bocznych boków; zatem przyczynki do krążenia na tych fragmentach krzywej równe są zeru. Natomiast przyczynek do krążenia na górnym fragmencie jest dodatni, a na dolnym ujemny. Zniosą się przy dodawaniu, jeśli iloczyny wartości natężenia pola i długość łuku będą równe. I taki jest właśnie szukany warunek.

RkQNCqtEyF8fv

Na ilustracji widoczne jest osiem rzędów czarnych strzałek, równoległych względem siebie i układających się w zakrzywiony kształt będący fragmentem okręgu. Im bardziej zewnętrzna część okręgu jest opisywana strzałkami tym są one krótsze. Bliżej środka, gdzie promień krzywizny jest mniejszy, długość strzałek znacząco rośnie. Wokół kilku wewnętrznych strzałek o różnych długościach zaznaczono zielonym kolorem krzywą, na której zaznaczono grotami strzałek kierunek zgodny z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.

RaqqVP4geIAZ7

Rysunek przedstawia szary toroid, na który nawinięto przewodnik z prądem narysowany czarną linią. W przewodniku płynie prąd elektryczny o natężeniu wielka litera I. W tle toroidu narysowano w postaci zielonego okręgu linię pola magnetycznego. Jego kierunek określają cztery niebieskie strzałki, styczne do okręgu i obracające się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Niebieskie strzałki opisano jako wektory indukcji magnetycznej wielka litera B.

Rys. 2. stanowi wskazówkę. Musisz sobie jeszcze tylko wyobrazić prąd przebijający powierzchnię rozpiętą na zielonej krzywej wzdłuż której obliczysz krążenie wektora indukcji $\overrightarrow{B}$.

Prawo Ampere’a: $K_{B}=\mu_{0}I_{całk}$, gdzie $I_{całk}$ jest natężeniem całkowitego prądu przebijającego powierzchnię rozpiętą na krzywej wokół której obliczamy krążenie wektora indukcji magnetycznej. W tym przypadku $I_{całk}=nI$.

Krążenie wektora indukcji $\overrightarrow{B}$ obliczamy łatwo biorąc pod uwagę stałość wartości $B$ na okręgu i styczność linii magnetycznych do okręgu, wzdłuż którego obliczamy krążenie.

Ostatecznie: $2\pi r\cdot B=\mu_{0}nI$, stąd uzyskany wynik: $B=\frac{\mu_{0}nI}{2\pi r}$.